Предлагаемый материал лучше было бы назвать «Минимальная физика». Курс физики у студентов механического факультета начинается с первых дней поступления. С самой первой лекции «Кинематика» в вузовском курсе требуются знания по дифференцированию и интегрированию. Если дифференцирование студентам начинают читать в курсе высшей математики с сентября, т.е. параллельно с физикой, то интегрирование они начнут изучать только в следующем семестре. Предполагается, что с основами высшей математики студенты знакомы из школьной программы. Однако опыт последних лет показывает (и это всем известно), что у студентов - вчерашних школьников базовых знаний значительно меньше, чем хотелось бы. Если учесть тенденции последних лет к сокращению аудиторных часов, выделяемых на изучение физики, то становится ясно, что надо как-то менять традиционный стиль обучения. Автор считает, что лекции отменять нельзя, поскольку в устной форме материал можно изложить более доходчиво, но при этом из-за дефицита времени, многое можно не успеть сказать. Поэтому автор предлагает в дополнение к устным лекциям выдавать студентам отпечатанный материал, в котором содержится необходимый минимум вузовской физики в соответствии с программой курса. Тогда на лекции можно будет подробнее останавливаться на выводах формул, решении задач, больше показывать демонстрационных опытов, а студенты будут избавлены от напряженной работы по записыванию «каждого слова» лектора и лучше будут вдумываться в излагаемый материал.
Некоторые полезные математические сведения в применении к курсу ОБЩЕЙ физик
(необходимость в которых возникла при общении со студентами)
Физика не может существовать без математики, но не пугайтесь обилия математических формул. В курсе общей физики используется не так уж много операций из всех, которые имеются в математике, и эти операции достаточно однотипны. Главное, усвоить некоторые общие вещи.
Обозначим любую физическую величину буквой Щ (если это скалярная величина) и (если это вектор). Щ может быть массой, скоростью, силой и пр.,математике это безразлично и в этом ее сила.
1). Векторы обозначают Щ (жирный шрифт), .Наиболее удобное , т.к. ранее обозначали среднее значение (сейчас чаще - ), а «жирную» букву при ручном написании сделать практически невозможно.
2). Любой вектор можно разложить на составляющие, чаще всего используют декартову прямоугольную систему координат с базисными единичными векторами (ортами) , модули которых равны 1. Тогда:
вектор в декартовой системе координат
векторы, называемые составляющими или компонентами вектора
скаляры, называемые проекциями вектора
модуль вектора
3). С векторами следует обращаться очень осторожно. Так, разность векторов
- это вектор, проведенный из конца вектора b к концу вектора а. И хотя он называется «разность», его величина может быть равна сумме величин b и a, и вообще, может иметь любое значение), т.к. угол j между векторами a и b может быть любым: (теорема косинусов).
4) Векторы можно умножать друг на друга скалярно или векторно.
Скалярное произведение двух векторов – это скаляр (число)
c = (a,b) º a×b º
аb – проекция вектора а на направление вектора b; ах, bх, …- проекции векторов а и b на оси координат х, у и z..
Векторное произведение
это вектор, всегда перпендикулярный плоскости, в которой лежат векторы а и b и направленный по правилу буравчика при вращении от а к b по кратчайшему расстоянию.
5). Запись в физике - по смыслу - означает «изменение» - конечное, т.е. то, которое можно измерить, - тоже «изменение», но бесконечно малое («выдуманное»). Буквы «D» и «d» нельзя отделять от Щ.
6).Первую производную функции у по переменной х можно обозначать:.
Наиболее удобно первое обозначение, поскольку переменные могут быть разные. Точкой последние годы обозначают производную по времени. Последнее обозначение очень редко используют.
7). Любое уравнение, содержащее выражения с обозначениями типа «dx» и «dy» - это дифференциальное уравнение, из которого можно что-то найти только после интегрирования. В физических задачах лучше использовать определенные интегралы, тогда не надо будет находить постоянную интегрирования «С».В общем курсе физики в основном используются табличные интегралы, их немного и надо выучить их наизусть (см. таблицу).
Неопределенные интегралы выглядят проще, чем определенные, но лучше ими не пользоваться, т.к. надо еще суметь найти неизвестную С. Чтобы взять (найти) определенный интеграл, нужно записать выражение для неопределенного интеграла (без «С»), подставить верхний предел и произвести вычитание, подставив нижний предел. Например.
или
8) Интегрирование - по сути – это суммирование, только очень маленькими «кусочками». На графике интеграл –это площадь под кривой у(х).
9). Скоростью изменения какой-либо физической величины Щ называют первую производную по времени . По смыслу – она показывает, как изменяется Щ за единицу времени. Это может быть скорость изменения массы, силы и пр., она не имеет «своей» буквы (букв не хватает на сами величины), кроме скорости механического движения - v. Но полного единства в обозначении физических величин и в их названии не существует. Так, первую производную по времени называют также мощностью или потоком некоторой величины. Например, если Щ – работа (Дж), то dЩ/ dt – мощность (Вт). Если Щ – световая энергия (Дж), то dЩ/ dt – световой поток (Вт) светового потока.
10). Часто говорят, что можно пренебречь одной величиной по сравнению с другой, т.к. она много меньше. Возникает вопрос, во сколько раз, например, размер d тела должен быть меньше какого-либо другого размера L в данной задаче, чтобы тело можно было считать материальной точкой. Это зависит от точности, которая требуется в задаче. Если d/L=1:100, погрешность будет составлять примерно 1%, при d/L=1:10 – 10%, d/L=1:2 – 50%. (Не пугайтесь 50% - при вычислениях мы ошибемся, конечно, примерно в 2 раза, но не в100 раз, т.е. по порядку величины оценка будет не так уж далека от действительной величины).
11) Очень часто говорят, что первая производная – это тангенс угла наклона, но тангенс всегда безразмерная функция, а производная – может быть размерной величиной. Например, - кг/с. Поэтому надо добавлять …тангенс, умноженный на отношение масштабов величин, взятых по соответствующим осям.
12)
Среднее значение некоторой непрерывной функции у(х) в интервале значений х от а до b
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Механика – это раздел физики, в котором изучается движение одних тел относительно других. Законы классической механики применимы к телам, масса которых много больше массы атомов и молекул, движущимся со скоростями значительно меньшими, чем скорость света с» 3×108 м/с. .
Действительное движение тел может быть очень сложным, поэтому в механике, как и в других разделах физики, используют научные абстракции или модели. В механике такими моделями являются:
1) Материальная точка – это любое тело, размерами которого можно пренебречь по
сравнению с другими расстояниями в данной задаче.
2) Абсолютно твердое тело (АТТ) – это совокупность материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга. За АТТ можно принять любое реальное тело, деформациями которого можно пренебречь.
Механику принято делить на кинематику и динамику. В свою очередь эти разделы делят на кинематику материальной точки и кинематику АТТ, и, соответственно, динамику материальной точки и динамику АТТ.
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В кинематике изучается движение тел без учета причин, вызывающих это движение. Движение тела всегда происходит относительно другого тела. Поэтому, прежде всего, необходимо выбрать какую-либо отсчетную точку (любую) и задать положение исследуемой точки. Для этого используют:
- радиус-вектор
это вектор, проведенный от точки отсчета О
к рассматриваемой точке М (см. рис.).
радиус-вектор в прямоугольной системе декартовых координат, - составляющие (компоненты) радиус-вектора (векторы); - проекции радиус-вектора (скаляры), -называют также координатами точки.
Тело, относительно которого рассматривается движение данной точки и связанную с ним систему координат и часы, называют системой отсчета.
Для характеристики движения точки используют:
- перемещение (или изменение радиус-вектора) –
это вектор, соединяющий начало и конец траектории
Траекторией называют непрерывную последовательность положений
точки, иначе говоря – это линия, по которой движется точка.
уравнение траектории при движении на плоскости (х, у).
S – путь – это длина траектории (скалярная величина, > 0). Путь не может убывать (!).
Кроме того, движение характеризуют скоростью и ускорением - при этом различают их средние значения за некоторый конечный промежуток времени Dt и мгновенные их значения в данный момент времени t
Скорость название и смысл
Средняя Мгновенная
скорость перемещения (вектор) - показывает, как изменяется перемещение в единицу времени
скорость пути (скаляр) – показывает, как изменяется путь в единицу времени
скорость изменения координаты х (скаляр) – показывает, как изменяется координата в единицу времени (аналогично для vy и vz.
Ускорение Ускорение - по смыслу – показывает, как изменяется скорость в единицу времени. (Ускорение можно назвать «скорость скорости»)
среднее Мгновенное
В декартовых координатах мгновенные скорость и ускорение имеют вид:
Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории, а ускорение - так же, как изменение скорости, т. е. может быть направлено под любым углом к скорости (см. рис.).
Если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно разложить ускорение на составляющие, одна из которых направлена по касательной и называется тангенциальным или касательным ускорением, а другая направлена по нормали к касательной, т.е. по радиусу кривизны, к центру кривизны и называется нормальным ускорением (бывшее центростремительное).
а – полное ускорение
- нормальное ускорение – характеризует изменение скорости по направлению,
- тангенциальное (касательное) ускорение – -²- -²- -²- -²- по величине
- единичные векторы, направленные, соответственно, по радиусу кривизны к центру
кривизны и по касательной в направлении скорости
r - радиус кривизны – его можно найти по формуле:
- первые производные от координат по времени
- вторые производные от координат по времени
У точки, движущейся по криволинейной траектории, всегда есть нормальное ускорение, а тангенциальное – только тогда, когда скорость изменяется по величине
Чтобы найти путь, надо взять интеграл:
Т.к. под интегралом – модуль скорости, то значительно легче находить путь отрезками, разбивая движение на отдельные этапы.
Фактически любая кинематическая задача - в двух дифференциальных и связанных с ними двух интегральных векторных уравнениях:
Иначе говоря, в любой задаче – либо дифференцируй, либо интегрируй (или до нас кто-то это уже сделал). Если задана скорость , можно, дифференцируя, найти ускорение, если задано ускорение – можно интегрированием найти скорость. Но! Во-первых, это векторные уравнения, поэтому сначала надо «избавиться» от векторов, т.е. записать в проекциях. Во-вторых, символ интеграла записать легко, а взять интеграл (получить из него формулу) далеко не всегда возможно. В курсе общей физики обычно рассматриваются такие задачи, в которых интегралы всегда берутся.
Равнопеременное движение (ускоренное или замедленное) - это движение, при котором ускорение остается неизменным как по величине, так и по направлению:
перепишем уравнение так, чтобы переменная была в левой части, а t - в правой части уравнения
проинтегрируем уравнение, считая
или
получим формулу для скорости
подставим во второе кинематическое уравнение и проинтегрируем
В результате получим два векторных уравнения, которые применимы к любой задаче при условии, что ускорение точки не изменяется в процессе движения ни по величине, ни по направлению.
Общие кинематические уравнения равнопеременного движения точки ( )
В проекциях на оси декартовых координат (запишем только для оси х, т.к. для осей у и z они аналогичны при замене
х® у, z). начальная координата по оси х, - проекции скорости и начальной скорости, - проекция ускорения
Из этих общих уравнений можно получить кинематические уравнения движения в любой задаче, но сначала надо выбрать начальную точку отсчета для осей координат и их направления. Лучше оси выбирать так, чтобы начальные координаты были хо = 0 и уо = 0, т.е. совместить начало отсчета координат с начальным положением рассматриваемого тела; направить оси так, чтобы ускорение проецировалось только на одну ось, и все движение точки происходило в положительной области значений х и у.
Рассмотрим некоторые примеры.
Горизонтальный бросок (без учета сопротивления воздуха).
Если выбрать оси координат так, как указано на рисунке, получим наиболее простые кинематические уравнения. Выразив t из первого уравнения и, подставив его во второе, получим уравнение траектории:
Бросок под углом a к горизонту (без учета сопротивления воздуха)
В этих примерах приведены общие кинематические уравнения движения, т.е. функциональные зависимости х(t) и y(t). Если мы хотим найти, например, длину броска или максимальную высоту подъема, нам нужно применить эти уравнения в соответствующие моменты времени.
Эти «готовые» формулы для «броска под углом » получены из приведенных выше общих уравнений при условиях: 1) в высшей точке подъема при t = t1, y = H, vy = 0, 2) в момент падения при t= t2, x= L, y = 0.
Кинематика вращения точки по окружности.
При вращательном движении точки по окружности целесообразно заменить линейные характеристики движения на угловые. Если ввести вспомогательный вектор (псевдовектор) , численно равный углу поворота радиус-вектора и направленный по оси вращения по правилу буравчика (с правой резьбой), то используемые величины получат векторное выражение.
угловые характеристики вращательного движения векторная форма, направления векторов указаны на рисунке
скалярная форма
угловое перемещение
- угол поворота радиус-вектора
угловая скорость
показывает, как изменяется угол поворота радиус-вектора за единицу времени
угловое ускорение
показывает, как изменяется угловая скорость за единицу времени
В самом общем случае вращение точки можно описать с помощью двух дифференциальных и двух интегральных уравнений:
общие кинематические уравнения вращательного движения точки в векторной форме
Если точка М движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а сама ось не меняет своего положения в пространстве, то кинематические уравнения после интегрирования примут более простой вид (естественно принятьjо = 0 и отсчет угла вести в направлении движения):
кинематические уравнения равноускоренного (+) и равнозамедленного (-) вращательного движения точки в скалярной форме
Кроме перечисленных выше величин при вращательном движении используют:
N – общее число оборотов
Т (с)– период обращения – это время одного оборота,
n (об/с) - частота вращения или число оборотов за единицу времени.
Эти величины связаны между собой формулами:
Связь между линейными и угловыми характеристиками движения точки в скалярной и векторной формах
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (АТТ)
Все возможные движения АТТ могут быть сведены к двум основным: поступательному и вращательному относительно некоторой мгновенной оси (ось можно «выдумать» какую хочешь, она не обязательно должна совпадать с действительной осью вращения, но надо выбирать такую, для которой известен момент инерции тела).
Поступательное движение – это движение, при котором прямая АВ, проведенная через любые две точки тела, перемещается параллельно самой себе (см. рис.). При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения. Следовательно, для описания поступательного движения АТТ достаточно знать движение всего одной точки, например, центра масс (о центре масс - см. ниже).
Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения в общем случае может не проходить через тело. В качестве кинематического уравнения вращательного движения АТТ достаточно знать уравнение j (t) для угла поворота радиус-вектора, проведенного от оси вращения к какой-либо точке тела (если ось неподвижна). Таким образом, принципиально кинематические уравнения движения для точки и АТТ ничем не отличаются.
ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им. И.М.Губкина (продолжение 1)
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
Как уже отмечалось, в кинематике при описании движения тела можно использовать любую систему отсчета, принципиально это не важно. В динамике система отсчета имеет принципиальное значение. Законы Ньютона выполняются не для любых систем отсчета.
В основе классической механики лежат три закона Ньютона.
Первый закон Ньютона: «Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано».
Выводы:
Покой и равномерное прямолинейное движение тела – это одинаковое и естественное механическое состояние тел при отсутствии внешних воздействий
Закон содержит в себе качественное определение силы – это то, что изменяет состояние движения тела.
Свойство сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инерцией (или инертностью). Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а системы отсчета, в которых он выполняется – инерциальными системами отсчета (ИСО). Наиболее точной инерциальной системой является гелиоцентрическая, центр которой находится на Солнце, а оси координат направлены на три «неподвижных» звезды. Естественно, пользоваться этой системой отсчета практически невозможно, поэтому очень часто используют систему отсчета, связанную с Землей, считая ее «неподвижной». В большинстве случаев погрешность при этом оказывается незначительной. ИСО может быть сколь угодно много и все они равноправны. Любая система, движущаяся с постоянной по величине и направлению скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.
Второй закон Ньютона можно записать в различной форме, соответственно, и формулировки будут разными. Но сначала введем некоторые определения.
импульс тела (количество движения)– это вектор, направленный так же, как
скорость
изменение импульса тела (конечное и бесконечно малое)
- сила – мера механического воздействия на тело других тел или это то, что изменяет
состояние движения тел или вызывает их деформацию и возникает в результате
взаимодействия по крайней мере двух тел.
-импульс силы – это произведение силы на время ее действия (у этой
величины нет «своей» буквы для обозначения)
(не путать с импульсом тела р= mv).
масса тела – это мера инертности тела, т.е. мера того сопротивления, которое оказывает
тело при попытке изменить его состояние движения.
равнодействующая всех сил, действующих на тело. Эта формула выражает закон независимости действия сил: «Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из них сообщает ускорение так, как если бы других сил не было». На основании этого закона любую силу можно разложить на составляющие.
Запишем теперь второй закон Ньютона.
Это самое общее выражение для второго закона Ньютона. Формулировка: «Изменение импульса тела за единицу времени равно векторной сумме сил, действующих на тело».
в таком виде закон можно сформулировать так: «Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело». Иначе говоря, только сила может
изменить импульс тела.
второй закон Ньютона :для m = const и a = const:
«Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и направлено так же, как сила».
Второй закон Ньютона называют основным законом динамики. Если известны силы, действующие на тело, масса тела и его начальные координаты и скорость, то второй закон Ньютона дает возможность получить кинематические уравнения движения тела, т.е. определить, как будет двигаться тело под действием этих сил. Или решить обратную задачу: зная кинематические уравнения движения тела, можно определить силы, действующие на тело.
Но II закон Ньютона не дает ответа на вопрос, откуда берутся силы. Ответ на этот вопрос содержится в III законе Ньютона – причина появления силы – другое тело.
Третий закон Ньютона: «Силы взаимодействия двух материальных точек друг с другом равны по величине и направлены противоположно по линии, соединяющей точки».
Таким образом, согласно I закону только сила может изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения тела (причем эти состояния неразличимы); II закон говорит о том, как будет изменяться скорость тела под действием силы, а III закон определяет причину появления силы – другое тело.
Законы Ньютона справедливы не для всех систем отсчета, а только для ИСО. Рассмотрим такой пример. Наблюдатель находится в вагоне, перед ним гладкий стол, на котором лежит шар. Что происходит за пределами вагона, человек не видит. Вдруг шар начинает катиться. И хотя никаких горизонтальных сил нет, тело приобрело ускорение, что противоречит II закону Ньютона. Но для другого наблюдателя, находящегося вне вагона на «неподвижной» земле, никаких противоречий нет. Вагон начал двигаться с ускорением, а шар остался на месте. Таким образом, для систем отсчета, движущихся с ускорением (вагон) относительно инерциальной системы отсчета («земля») законы Ньютона не применимы. Такие системы отсчета называются неинерциальными (НИСО). Основной закон динамики в НИСО формально имеет такой же вид, как II закон Ньютона, но принципиально отличается от него тем, что к обычным силам, появляющимся из-за взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами, добавляются силы, не имеющие противодействующей и неизвестно откуда возникающие. Эти силы называют силами инерции (например, центробежная сила инерции). (см. литературу /1/).
СИЛЫ В ПРИРОДЕ.
Все взаимодействия тел можно отнести к одному из 4-х существующих в природе типов.
1) Сильные взаимодействия или ядерные силы. Самые сильные взаимодействия. Это силы притяжения, очень короткодействующие, они проявляются на расстояниях порядка 1015 м при взаимодействии нуклонов протонов и нейтронов внутри атомных ядер. При механическом перемещении тел они никак не сказываются, а при движении нуклонов законы Ньютона неприменимы.
2) Электромагнитные взаимодействия – это электрические и магнитные силы (кулоновские, сила Лоренца, сила Ампера), проявляющиеся при взаимодействии заряженных частиц, атомов и молекул между собой. Электрические и магнитные силы существуют в единстве; строго говоря, их нельзя разделять. Но магнитная составляющая электромагнитного взаимодействия значительно слабее электрической, поэтому в некоторых случаях ею можно пренебречь. В механике электромагнитные силы играют одну из главных ролей – это силы упругости и силы трения.
3) Слабые взаимодействия – у этих сил нет своего названия. Они проявляются при взаимодействии элементарных частиц. При механическом движении тел они никак не проявляются.
4) Гравитационное взаимодействие самое слабое взаимодействие это силы тяготения. Согласно закону тяготения Ньютона, все тела притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В земных условиях от силы тяготения нельзя «отгородиться», она всепроникающая, но если масса тела очень мала, ею можно пренебречь. Например, при движении электрона в поле заряженного конденсатора – по сравнению с электрической силой.
Соотношение между величинами этих типов взаимодействия примерно равно: 1:2:3:4 = 1:104:1013:1038.
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ
При механическом перемещении макротел проявляются два типа сил – электромагнитные (сила трения, сила нормальной реакции опоры, сила упругости, электрические и магнитные силы) и гравитационные.
Рассмотрим типичный пример движения тела. Пусть тело тянут с силой F с помощью веревки, прикрепленной к телу, по горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Согласно третьему закону Ньютона причина появления силы – другое тело. На рассматриваемое тело действует Земля – сила тяжести mg, веревка – сила F и поверхность стола – сила R, которая называется силой реакции связи (тела со столом). Так как заранее неизвестно, под каким углом направлена R, эту силу в физике обычно не рассматривают, а раскладывают ее на две
составляющие (см. рис.):
N - нормальная составляющая (нормальная реакция опоры) и
Fтр – тангенциальная (касательная) составляющая, имеющая собственное
название – сила трения.
Трение, возникающее при движении одного твердого тела по поверхности другого твердого тела, называют внешним (или сухим) трением; при движении твердого тела в жидкости – сопротивлением, вязким трением, вязкостью. При сухом трении различают:
Fтр.покоя – силы трения покоя – их может быть множество (см. рис),
(Fтр.покоя)max – максимальная сила трения покоя, при которой происходит
сдвиг тела – она одна для данной пары поверхностей,
Fтр.скольж. – сила трения скольжения, всегда направлена против скорости тела,
Fтр.кач. – сила трения качения, для данных поверхностей она всегда намного
меньше силы трения скольжения.
Как установлено из опыта, максимальная сила трения покоя прямо пропорциональна силе давления тела на опору, - , которая численно равна силе нормальной реакции опоры - (по III закону Ньютона). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения. Таким образом,
- коэффициент трения
Когда тело начинает скользить, сила трения скольжения немного уменьшаться по сравнению с максимальной силой трения покоя. Во многих случаях при малых скоростях сила трения скольжения оказывается пропорциональной скорости тела: Fтр.ск кv. С увеличением скорости сила трения скольжения начинает увеличиваться. При очень больших скоростях могут появиться световые и звуковые эффекты, разрушения поверхностей, химические взаимодействия. Не существует единой формулы для силы трения скольжения, для каждой пары поверхностей нужно проводить специальные исследования. В простейших задачах считают силу трения скольжения независящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя. В более сложных задачах силу трения скольжения принимают пропорциональной скорости или ее квадрату. (чтобы можно было легко проинтегрировать).
Сила трения при качении зависит от той силы, с которой колесо давит на опорную поверхность, равной силе тяжести, и от радиуса колеса R. Коэффициент трения качения f при этом оказывается
размерной величиной и измеряется в СИ в метрах.
Сила тяготения, сила тяжести, вес тела.
Согласно закону тяготения Ньютона все тела притягивают друг друга с силой, зависящей от их масс и от расстояния между ними. Для двух материальных точек, сфер или шаров закон формулируется так: «Сила тяготения прямо пропорциональна массам тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между материальными точками или центрами сфер или шаров».
Закон тяготения для двух материальных
точек, сфер или шаров в скалярной форме.
m1, m2 – массы тел,
r – расстояние между центрами сфер или шаров.
G 6,671011 (Нм2)/кг2 – гравитационная постоянная – по смыслу – она равна силе, с которой взаимодействуют два тела массами по 1 кг, находящиеся на расстоянии
1 м друг от друга.
в векторной форме. Знак проекции силы (+ или) будет зависеть от выбора направления вектора от центра I –го шара к центру II-го или наоборот.
Сила тяжести - это сила притяжения тела к Земле, но она не равна силе тяготения, т.к. Земля является неинерциальной системой отсчета, и на все тела, кроме силы тяготения, действует центробежная сила инерции.
Здесь: m – масса тела, R – радиус Земли, - угловая скорость вращения Земли, - широта места.
Центробежная сила направлена не по радиусу Земли, а перпендикулярно земной оси в радиальных направлениях. Следовательно, сила тяжести оказывается различной в разных точках Земли. Однако наибольшее отличие величины силы тяжести от силы тяготения составляет всего 0,3 %. Если сила тяготения всегда направлена к центру Земли, то сила тяжести – нет, но максимальное отклонение от радиального направления всего 6 угловых минут. Таким образом, с достаточной степенью точности силу тяжести можно считать равной силе тяготения.
Вес тела – это сила, с которой тело действует на подставку или подвес.
Вес не может быть приложен к телу, это сила, с которой рассматриваемое тело действует на другое тело.
Найдем вес тела, находящегося в лифте.
II закон Ньютона для тела (в векторной форме)
по III закону Ньтона
Обозначим вес буквой Р
II закон Ньютона в проекциях
Из таблицы видно, что вес тела может быть равен, больше или меньше силы тяжести, это зависит только от ускорения, с которым движется тело, и не зависит от направления скорости.
Если тела не являются материальными точками, сферами или шарами, то вычисление силы тяготения представляет собой сложную математическую задачу. Например, вычислить силу тяготения между двумя стульями и получить формулу практически невозможно. Рассмотрим более простой пример. Найдем силу тяготения между однородным стержнем массой М
и длиной L и материальной точкой массой mо ,находящейся на расстоянии а от стержня.
,
введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент массой dm
сила тяготения между точечными массами m0 и dm
интегрируем по всему стержню
Силы упругости.
В природе не существует абсолютно твердых тел. Под действием внешних сил тела изменяют свою форму и размеры, это изменение называют деформацией тел. Различают несколько типов деформаций: растяжение (сжатие), изгиб, сдвиг и кручение. Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления вызвавшей ее нагрузки, и пластической, если она хотя бы частично остается после снятия нагрузки. Простейший вид деформации – однородное растяжение – когда все прямые и плоскости в теле до деформации остаются прямыми и плоскостями после деформации. Мерой деформации служит абсолютное (l) или относительное ( = l/ l) удлинение. Напряжением называют величину силы, действующей на единицу площади поперечного сечения тела. График зависимости от имеет характерный вид (см.рис.). При небольших нагрузках эта зависимость линейна. В этом случае говорят, что тело подчиняется закону Гука.В курсе общей физики рассматривается движение только абсолютно твердых, недеформируемых тел, но на них могут действовать силы со стороны пружин, резиновых шнуров, т.е. деформируемых тел. Такие силы называют силами упругости они прямо пропорциональны удлинению (сжатию) пружины (резинового шнура):
сила упругости,. «» означает, что сила упругости
направлена всегда противоположно смещению
k (Н/м) – коэффициент упругости или жесткость пружины,он равен той силе,
которую нужно приложить к пружине, чтобы растянуть ее на единицу длины.
х – удлинение (сжатие) пружины (или смещение от точки равновесия)
lo – собственная длина пружины.
В качестве примера решения прямой задачи динамики
найдем, как будет двигаться лодка на озере после выключения мотора. Пусть начальная скорость лодки vо . Рассмотрим два случая: один раз предположим, что сила сопротивления пропорциональна скорости, второй раз – пропорциональна квадрату скорости лодки и найдем
скорость лодки в зависимости от времени.
запишем II закон Ньютона для лодки в дифференциальной форме, т.к.сила const
II закон Ньютона в проекциях. «» означает,
что скорость уменьшается.
предполагаемая зависимость силы сопротивления от скорости
подставим во II закон Ньютона, разделим переменные и проинтегрируем
получим выражения, из которых найдем зависимость
в обоих случаях скорость убывает со временем, но по разным законам
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.
Рассмотрим систему из n материальных точек с массами m1, m2,…, mn (см.рис.). Разделим силы на внутренние и внешние: - внутренние силы, действующие между телами, включенными в систему
(i,j = 1,2,…, i j), - внешние силы, действующие со стороны других тел, не включенных в систему. Запишем для каждой точки II закон Ньютона, а затем просуммируем левые и правые части формул по всем точкам:
II закон Ньютона для 1-ой точки
II закон Ньютона для i-ой точки
При суммировании внутренние силы дадут 0, т.к. по III закону Ньютона .
В результате получим:
Это выражение называется теоремой об изменении полного импульса системы материальных точек и по существу представляет собой II закон Ньютона для системы материальных точек. Смысл его в том, что полный импульс системы может
измениться только под действием внешних сил.
Система, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, т.е. для которой , называется замкнутой или изолированной. Для такой системы можно записать: и, следовательно,
Это закон сохранения импульса: «В замкнутой системе полный импульс системы материальных точек остается постоянным».
Ни одна система на Земле не является замкнутой, т.к. всегда действуют силы тяжести, но закон сохранения импульса можно применять для незамкнутых систем, если:
1) алгебраическая сумма проекций внешних сил для некоторого направления х равна нулю, т.е. , тогда ;
2)импульс внешних сил значительно меньше импульса внутренних сил: , т.е. внешними силами можно пренебречь. Например, при ударах и взрывах можно пренебречь силами тяжести.
ЦЕНТР МАСС (ЦЕНТР ИНЕРЦИИ)
Центром масс (центром инерции) называется воображаемая точка, в которой как бы сосредоточена вся масса тела или системы тел. Центр тяжести практически совпадает с центром масс.
Положение центра масс определяется радиус-вектором и координатами:
Перепишем первое уравнение, дифференцируя, найдем скорость центра масс и получим:
II закон Ньютона для движения центра масс, где масса всех тел, входящих в систему.
Из уравнения следует, что центр масс системы движется так же, как двигалась бы точка с массой m. Если система замкнута, т.е. , то .
РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ.
Работа определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения:
элементарная работа, т.е. работа, совершаемая при таком малом перемещении, в пределах которого силу можно считать неизменной, проекция силы на направление перемещения
полная работа (это всегда интеграл). Если заранее неизвестно по какой переменной будет производиться интегрирование, то в качестве пределов можно указать 1-2.
работа на конечном участке, выраженная через проекции силы и изменения координат
этой формулой можно пользоваться только, если , = 0 и S = r (путь численно равен перемещению)
На приведенном графике для одномерного движения работа – это площадь под кривой зависимости проекции силы от перемещения х.
А 0
работа силы F А 0
работа против силы F А = 0
перпендикулярная сила работы не совершает
На практике важно знать не только полную работу, но и ее распределение по времени. В этом случае используют понятие «мощность»:
Мощность (Дж/с = Вт) – по смыслу – это работа, совершаемая за единицу
времени.
Используя выражение для работы, мощность можно выразить как скалярное произведение вектора силы и вектора скорости.
Консервативные и диссипативные силы.
По смыслу работа – это мера передачи энергии от одного тела к другому, т.е. работа всегда связана с изменением энергии тела. В свете этого все силы в механике делят на консервативные (в электростатике их называют потенциальными) и неконсервативные (диссипативные)
Консервативными (потенциальными) силами называют силы, которые зависят только от координат тела и не зависят от его скорости. Работа консервативных сил не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положением тела. Работа таких сил по замкнутому пути равна нулю. Если в системе действуют только консервативные силы, то систему называют консервативной, и механическая энергия такой системы остается постоянной
Диссипативные силы всегда направлены противоположно скорости тела, они зависят от скорости тела, а также от других факторов, например, сила трения при движении тела в прямом и обратном направлении может оказаться различной (например, скольжение тела на поверхности по ворсу и против ворса).
Консервативные силы Диссипативные силы
1) силы тяготения (тяжести)
2) силы упругости
3) электростатические
(кулоновские) силы 1) силы сухого трения
2) силы сопротивления
(вязкого трения)
3) силы неупругой деформации
Энергия. В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Сумму этих энергий называют полной механической энергией.
Кинетическая энергия – это энергия, связанная с движением. Если скорость тела отлична от нуля, значит, тело обладает кинетической энергией. Выражение для кинетической энергии можно получить, если найти работу, которую должна совершить сила F, чтобы сообщить неподвижному телу массой m скорость v.
запишем II закон Ньютона для тела в дифференциальной форме
элементарная работа силы F
Подставим F из первого уравнения и учтем, что скорость
интегрируя, найдем полную работу
Таким образом, неподвижное тело за счет работы силы приобрело скорость и, следовательно, кинетическую энергию:
кинетическая энергия материальной точки
системы материальных точек.
Кинетическая энергия – это аддитивная величина,
т.е. энергии всех точек просто складываются
, выраженная через скорость центра масс
Обобщая на случай, когда тело уже имело скорость, можно записать, что Wкин=A, иначе говоря, изменение кинетической энергии тела всегда равно работе. Если разделить все силы, действующие на тело, на внешние и внутренние, а их, в свою очередь на консервативные и диссипативные, то можно записать:
Теорема об изменении кинетической энергии:
«Изменение кинетической энергии системы материальных точек равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на систему». Это выражение применимо для любых систем и любых сил.
Введем теперь понятие потенциальной энергии. В консервативных полях, например, в поле тяготения, работа не зависит от формы пути, а определяется только начальной и конечной точками траектории. Следовательно, каждую точку поля можно однозначно охарактеризовать работой, производимой при перемещении из некоторой условно нулевой точки в данную точку. Величина этой работы, взятая с обратным знаком, называется силовой функцией или потенциальной энергией.Потенциальная энергия вводится только для консервативных систем.
«Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии тела (системы тел)».
Запишем в дифференциальной форме и подставим выражение для работы для одномерного случая:
Аналогично можно записать для проекций по у и z.
В результате получим выражения в частных производных.
Это формулы, связывающие проекции консервативных сил с изменением потенциальной энергии тела
Полная механическая энергия и ее изменение равны:
Подставив в теорему об изменении кинетической энергии , получим:
Теперь можно записать и сформулировать закон сохранения механической энергии: «Если система: 1) замкнута и 2) консервативна, то полная механическая энергия системы остается постоянной»:
, если:
1)система замкнута (не действуют внешние силы),
2)система консервативна (не действуют силы трения, сопротивления)
закон сохранения механической энергии
В системах, в которых действуют силы трения и сопротивления механическая энергия не сохраняется, но это не значит, что энергия исчезает, просто она переходит в другие виды энергии. В природе действует общефизический закон сохранения энергии: «Энергия не исчезает и не возникает вновь, она может только переходить из одной формы в другую».
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
Замкнутая система находится в устойчивом равновесии,
если ее потенциальная энергия минимальна.
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. В начальный момент тела покоятся. Предположим, что потенциальная энергия в начальный момент минимальна. Для такой системы выполняется закон сохранения энергии: Wполная = Wкин + Wпот = const. Для того, чтобы тела начали двигаться, у них должна появиться кинетическая энергия, а она может появиться только за счет потенциальной энергии. Т.к. мы предположили, что потенциальная энергия минимальна, то, следовательно, тела не могут начать двигаться. Иначе говоря,если замкнутая система имеет минимальную потенциальную энергию и в начальный момент тела системы покоятся, то система и дальше будет находиться в положении равновесия. (Из обыденного опыта нам кажется это очевидным – шар из ямы сам не выкатывается).
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ К УДАРАМ ШАРОВ
Законы сохранения импульса и механической энергии дают возможность сделать выводы о движении тел при их взаимодействии, не рассматривая конкретно силы взаимодействия и процессы, происходящие при этом. Например, при ударе двух шаров происходят деформации тел и обратимые и необратимые. Заранее неизвестно, как силы зависят от времени. Однако с помощью законов сохранения можно найти скорости тел после удара.
Рассмотрим удар двух тел. Если скорости тел направлены по прямой линии, соединяющей их центры масс, удар называется прямым центральным ударом. Различают следующие типы ударов: 1) абсолютно упругий – это такой удар, при котором сохраняется кинетическая
энергия всей системы, 2) упругий (неупругий) – это удар, при котором часть механической энергии переходит в теплоту.3) абсолютно неупругий - это удар, при котором тела после удара движутся как единое целое, и часть механической энергии переходит в теплоту,
Абсолютно упругий удар.
закон сохранения импульса в векторной форме
в проекциях на ось х
закон сохранения механической энергии
перенесем члены с m1 в левую часть уравнения, а с m2 – в правую и, разделим 2-е уравнение на 1-е
это уравнение надо умножить на m1 или на m2 и сложить (вычесть) с уравнением закона сохранения импульса.
Умножим на m1,чтобы найти (если умножить на m2 и вычесть, можно найти )
Абсолютно неупругий удар.
закон сохранения импульса в векторной форме
в проекциях на ось х
скорость после удара
закон сохранения энергии, Q – теплота, выделившаяся при ударе
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (АТТ)
Как уже говорилось, любое движение АТТ можно рассматривать как два одновременно происходящих движения поступательного и вращательного. Соответственно и основной закон динамики (II закон Ньютона) записывают в виде двух векторных уравнений.
Если тело может поворачиваться или вращаться под действием некоторой силы, то недостаточно знать величину и направление силы, важно также, на каком расстоянии находится точка приложения силы от оси вращения (попробуйте открыть дверь не за ручку, а надавливая вблизи оси ее поворота или повернуть велосипедное колесо не за обод, а за втулку вблизи его оси). Недостаточно также знать массу тела, важно, на каком расстоянии от оси вращения находится эта масса. Прежде, чем записывать закон динамики для вращательного движения, введем ряд понятий.
момент силы относительно любой отсчетной точки O – это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор силы. На рисунке вектор М направлен перпендикулярно чертежу от нас.
момент импульса материальной точки относительно любой отсчетной точки О – это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор импульса точки. На рисунке вектор L направлен от нас.
Чтобы получить основной закон динамики вращательного движения, нужно АТТ рассматривать как систему материальных точек, разделить силы на внутренние и внешние (см. ранее теорему об изменении импульса), записать II закон Ньютона для каждой точки. Затем векторно умножить обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный от выбранной отсчетной точки О, и просуммировать по всем точкам:
II закон Ньютона для i – ой точки
векторное умножение обеих частей уравнения на радиус-вектор. В правой части – моменты внутренних и внешних сил
суммирование по всем точкам,
i , j = 1,2,…,n, i j
первый член в правой части предыдущего уравнения равен нулю, т.к. моменты внутренних сил попарно уничтожаются
Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называется полным моментом импульса АТТ относительно некоторой точки отсчета.
Тогда II закон Ньютона для вращательного движения можно записать в виде:
основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки (любой)
Для поступательного движения выражение было получено ранее:
основной закон динамики для поступательного движения абсолютно твердого тела (vс- скорость центра масс)
Таким образом, любое движение АТТ описывается двумя векторными уравнениями или шестью скалярными уравнениями, если записать в проекциях:
В курсе общей физики таких сложных движений обычно не рассматривают и ограничиваются только плоским движением. При плоском движении каждая точка тела в процессе движения остается все время в одной и той же плоскости. В этом случае ось вращения не меняет своего положения по отношению к телу, и уравнения упрощаются, т.е. для поступательного движения достаточно двух осей проекций х и у, а для вращательного одной оси z . При этом говорят, что «ось вращения неподвижна» (по отношению к телу).
Для «неподвижной» оси вращения момент импульса можно записать в скалярном виде, учитывая связь линейной и угловой скоростей :
.
Величина I называется моментом инерции тела – это скалярная величина по смыслу момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Моменты инерции – это аддитивные величины, т. е. для нескольких точек при одной и той же оси они просто складываются
моменты инерции
материальной точки системы материальных точек абсолютно твердого тела
- плотность тела, V – объем тела
У данного тела масса – одна, а моментов инерции может быть множество, т.к. осей вращения можно выбрать, сколько хочешь, поэтому, говоря о моменте инерции тела, надо всегда указывать ось вращения.
Для симметричных тел простейшей формы момент инерции можно вычислить (взять интеграл и получить формулу). Для тела сложной формы это практически невозможно, поэтому момент инерции определяют опытным путем, изучая движение тела и используя кинематические формулы и второй закон Ньютона.
Для примера вычислим момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню.
(Сравните с вычислением силы тяготения между стержнем и точкой – математические операции однотипны).
(кг/м)
введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент длиной dx и массой dm
запишем момент инерции выделенного «кусочка» (материальной точки)
просуммируем моменты инерции всех «кусочков», т.е. проинтегрируем
Моменты инерции некоторых тел (! только относительно указанных осей)
тонкое кольцо диск, сплошной цилиндр
шар стержень, квадратная
пластинка стержень, квадратная
пластинка
В некоторых случаях вычисление момента инерции облегчает теорема Штейнера:
Если известен момент инерции тела относительно оси СС, проходящей через его центр масс, то момент инерции этого тела относительно оси ОО, параллельной оси СС, можно найти по этой формуле; a – расстояние между осями, m – масса тела
При неподвижной оси вращения основной закон динамики можно записать в скалярной форме:
основной закон динамики вращательного движения АТТ
при неподвижной оси вращения
(II закон Ньютона для вращательного движения),
- угловая скорость, - угловое ускорение
Если система замкнутая (изолированная), иначе говоря, суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то из основного закона динамики следует, что полный момент импульса системы будет оставаться неизменным:
при вращении
относительно Закон сохранения момента импульса:
неподвижной точки «в замкнутой (изолированной) системе
полный момент импульса системы
при вращении остается постоянным»
относительно
неподвижной оси
Получим выражение для работы, совершаемой при повороте тела. Пусть к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси О, приложена сила F , направленная (для простоты) по касательной. В общем случае, когда сила направлена под углом к касательной, вывод сложнее, но конечная формула та же самая.
элементарная работа силы F при перемещении на dl
момент силы F
связь длины дуги с радиусом при бесконечно малом угле поворота d
подставим в первую формулу и, интегрируя, получим:
работа при вращательном движении
мощность при вращательном движении
Найдем выражение для кинетической энергии при вращении тела относительно неподвижной оси, учитывая, что АТТ - система материальных точек, а энергия аддитивная величина:
Кинетическая энергия тела при вращении относительно
неподвижной оси
Если тело одновременно движется и поступательно и вращается, то его кинетическая энергия складывается из двух частей:
Кинетическая энергия тела при плоском движении
vc – скорость центра масс
Пример. Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.
II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений.
Движение плоское.
II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра – ось направлена перпендикулярно чертежу. R – радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
связь между угловым ускорением и ускорением центра масс аС.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ СО СВОЙСТВАМИ
ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ.
Пространство однородно – это означает, что все точки пространства эквивалентны, т.е. равноправны. В однородном пространстве нет каких-либо особых точек, отличных от других. Если некоторую систему тел перенести в другое место пространства, а тела в ней поставить в те же условия, в которых они находились в прежнем положении, то это никак не отразится на ходе всех последующих явлений. Проще говоря, если в данной точке на поверхности земли бросить камень вертикально вверх с некоторой скоростью, и он будет падать, например, 2 секунды, то этот же камень, брошенный так же и с той скоростью в другой точке, будет падать тоже 2 секунды. Если взять замкнутую систему тел, для которой полный импульс системы равен некоторой величине, то и в любом другом месте полный импульс будет оставаться тем же самым. Иначе говоря, закон сохранения импульса является следствием однородности пространства.
Пространство изотропно – это означает, что в пространстве нет каких-либо выделенных, особых направлений, все направления равноправны. Если рассуждать так же, как в случае однородности пространства, но систему тел не переносить, а поворачивать на любой угол, мы придем к выводу о сохранении момента импульса системы. Таким образом, закон сохранения момента импульса системы тел является следствием изотропности пространства.
Время однородно – это означает равноправие всех моментов времени. Если в два любых момента времени все тела замкнутой консервативной системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в системе будут протекать совершенно одинаково. Иначе говоря, течение физических процессов не зависит от выбора начального момента времени. Любой процесс имеет определенную длительность, начало и конец. Однородность времени означает, что «абсолютное положение» начального и конечного моментов не существенны для протекания процессов. Следствием свойства однородности времени является закон сохранения механической энергии.
СИЛОВЫЕ ПОЛЯ
Физическим полем называется пространство, каждой точке которого поставлено в соответствие либо число (скалярное поле), либо вектор (векторное поле). Примером скалярного поля может служить поле температур. Скалярное поле наглядно изображается с помощью поверхностей уровня – это поверхность, во всех точках которой величина, характеризующая поле, остается постоянной. В случае поля температур эти поверхности называют изотермическими (см. рис. температурное поле пламени газовой горелки). Векторное поле наглядно изображается с помощью силовых линий – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором поля.
Поля консервативных сил характеризуют как скалярной величиной, так и вектором. Электростатическое поле характеризуют скалярной величиной, которую называют потенциалом, и векторной величиной – напряженностью.
Потенциал – энергетическая характеристика поля по смыслу – это потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд в данной точке поля.
Напряженность – это силовая характеристика поля. По смыслу – напряженность – это сила, с которой действует поле на единичный положительный заряд в данной точке поля.
Гравитационное поле (поле тяготения) также характеризуют потенциалом и напряженностью
Потенциал гравитационного поля – скалярная энергетическая характеристика – это потенциальная энергия, которой обладает тело единичной массы в данной точке поля
Силовой (векторной) характеристикой гравитационного поля является ускорение свободного падения – это сила тяготения, действующая на тело единичной массы в данной точке поля.
Векторное поле называется центральным, если все векторы поля лежат на прямых, проходящих через одну и ту же точку поля. Примером служит поле тяготения Земли или поле точечного электрического заряда.
Если частица движется в поле, для которого известна зависимость его силовой характеристики для каждой точки поля F(r), то, используя основной закон динамики
(dp/dt) = F (r) (II закон Ньютона), в принципе можно определить траекторию частицы. Однако в действительности движение может быть сложным, и точное математическое решение оказывается невозможным. В этих случаях используют приближенные методы решения и ЭВМ. Можно также качественно описать поведение частицы, используя метод потенциальных кривых и законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.
Рассмотрим движение частицы в одномерном потенциальном поле. График зависимости потенциальной энергии одной частицы, взаимодействующей с другой частицей, называют потенциальной кривой. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет бóльшее значение, чем ее полная энергия, называется потенциальным барьером. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет меньшее значение, чем вне ее, называется потенциальной ямой. На рисунке приведена потенциальная кривая график зависимости потенциальной энергии молекулы 2, взаимодействующей с молекулой 1. В т. О помещена условно неподвижная молекула 1. К ней издалека приближается другая молекула 2 с полной энергией Е1. Система замкнута и консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии: Еполн = Екин + Епот = const. В точке с координатой r1 полная энергия частицы 2 становится равной ее потенциальной энергии, а кинетическая энергия равна нулю, частица останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении. Иначе говоря, частица 2 с энергией Е1 не может преодолеть потенциальный барьер. Такое движение, когда частица «пришла» из бесконечности и «уходит» в бесконечность, называется инфинитным. Если частица 2 окажется в области r2 r3 , имея при этом полную энергию E2, она окажется в потенциальной яме и не сможет из нее выйти, а будет двигаться около частицы 1, приближаясь на расстояние r2 и удаляясь на расстояние r3. Такое движение называется финитным (конечным).
При таком подходе с использованием потенциальных кривых, мы не можем сказать, по каким траекториям будет двигаться частица 2, но, тем не менее, можем получить ценную информацию о ее поведении в поле частицы 1. При известной потенциальной кривой и заданной энергии частицы 2, она может пролететь мимо частицы 1 или же быть захваченной полем частицы 1 с образованием системы частиц 1-2. Такой подход важен при исследовании столкновений частиц в случаях, когда невозможно решение динамического уравнения движения.
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Найдем выражение для потенциальной энергии, которой обладает материальная точка, находящаяся в поле Земли. Гравитационное поле Земли является сферически симметричным. В таком случае используют не декартовы координаты, а сферические (см. рис.): две угловых координаты и и радиальную координату r, направленную от центра поля (т.О) к рассматриваемой точке Р. Будем считать, что поле Земли однородно и изотропно, тогда нам будет достаточно одной радиальной координаты r.
Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативных сил, взятой с обратным знаком: Wпот = А. Следовательно, найдя работу, мы получим выражение для изменения потенциальной энергии тела (но не самой энергии!).
Пусть материальную точку с массой m перенесли на расстояние dr (см. рис.в таблице), совершив при этом элементарную работу dA против силы тяготения. Так как сила тяготения зависит от расстояния, для нахождения полной работы будем интегрировать, в результате получим общее выражение для изменения потенциальной энергии.
элементарная работа; «» потому, что перемещение и сила направлены противоположно (cos 180o=1)
сила тяготения, m- масса точки, M – масса
Земли, r –радиальная координата
интегрируя, найдем работу по переносу точки с массой m из положения с координатой r1 в положение с координатой r2, и получим:
общее выражение для изменения потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения Земли)
Чтобы найти выражение для потенциальной энергии, следует сначала выбрать тот уровень, на котором будем считать Wпот = 0. . Пусть в некоторой точке находится неподвижное тело, и нас спрашивают, чему равна его потенциальная энергия. Ответить на этот вопрос нельзя, пока не будет указан уровень, где Wпот = 0. В зависимости от выбора нулевого уровня, выражений для потенциальной энергии данного тела может быть множество.
Найдем выражения для потенциальной энергии материальной точки, находящейся в поле тяготения Земли. Рассмотрим два случая для данного неподвижного тела примем: 1)Wпот = 0 на бесконечности, что имеет физический смысл, т.к. на очень большом расстоянии тела практически не взаимодействуют, и 2)Wпот = 0 на поверхности Земли (что удобно).
1
мы приняли W1 = 0 при r1 = и заменили W2 = W и r2 = r
2 ☻
здесь принято W1 = 0 при r1 = R (радиус Земли) и W2 = W и r2 = r
Можно ли пользоваться
этой формулой? да, при условиях: 1) Wпот = 0 на поверхности Земли и 2) высота тела над поверхностью Земли значительно меньше ее радиуса
h R. Получим эту формулу из общего выражения ☻
при h R
g ускорение силы тяжести на поверхности Земли
КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ
Движение тела в поле тяготения Земли можно исследовать с помощью потенциальных кривых. На рис. приведены потенциальные кривые для двух случаев выбора нулевого уровня Wпот = 0, соответствующие формулам, приведенным в таблице.
Рассмотрим 2-ой случай (он проще, т.к. здесь энергия – положительная величина). Пусть с поверхности Земли брошено тело массой m со скоростью v. Если полная энергия тела равна Е1, тело преодолеет потенциальный барьер и вырвется за пределы Земли (инфинитное движение). Если полная энергия тела Е2, то тело окажется в потенциальной яме, движение будет финитным в пределах от R до R+h (h – высота над поверхностью Земли). На втором рисунке показаны возможные траектории движения тела.
Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли, двигаясь вблизи ее поверхности, называется I-ой космической скоростью – vI.
Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вырвалось за пределы земного притяжения, называется II-ой космической скоростью – vII.
движение по окружности, формула выводится из 2-го закона Нютона
движение по параболе, формула выводится из закона сохранения энергии в предположении, что на бесконечности Wкин = Wпот = 0
ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им. И.М.Губкина (конспект продолжение3)
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Молекулярная физика изучает строение и свойства вещества, исходя из молекулярно-кинетических представлений, согласно которым все вещества – твердые, жидкие или газообразные - состоят из мельчайших частиц атомов или молекул, находящихся в непрерывном тепловом движении. В газообразном веществе атомы или молекулы движутся хаотически по всему объему сосуда. В жидкостях молекулы колеблются некоторое время около положений равновесия, а затем перескакивают в другое положение равновесия. В кристаллах атомы, молекулы или ионы совершают непрерывные колебания около своих положений равновесия – узлов решетки.
Невозможно изучать поведение одной молекулы, применяя к ней законы механики. Количество молекул огромно. Например, в 1 моле воды (18 г) содержится 61023 молекул. Поэтому в молекулярной физике используется статистический подход. Всю совокупность молекул в данном объеме рассматривают в целом и характеризуют молекулы средними величинами – средняя энергия молекулы, средняя скорость молекулы, ее средняя длина свободного пробега и др. Как оказалось, эти средние характеристики каждой молекулы не меняются, если газ находится в равновесном состоянии, т.е. при неизменных внешних условиях. Статистический подход позволяет ввести такие характеристики, которых нет у одной молекулы, например, давление газа – это результат хаотических ударов о стенки множества молекул; температура это мера средней кинетической энергии всей совокупности молекул. Статистический подход применим только к системам, состоящим из очень большого числа молекул.
Свойства (но не строение) вещества изучает также термодинамика. В ее основе лежат два начала (закона), полученные на основании опытных данных.
I начало термодинамики – это по сути закон сохранения энергии с учетом тепловых явлений. II начало термодинамики определяет направление хода процессов, например, вычислив энтропию (см. дальше - термодинамика), можно заранее сказать, пойдет или нет данная химическая реакция. Термодинамика, как и статистическая физика, применима только к системам, состоящим из очень большого числа частиц. И статистическая физика и термодинамики дополняют друг друга, существует раздел физики – статистическая термодинамика.
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Простейшей моделью реальных газов является идеальный газ. С макроскопической точки зрения – это газ, для которого выполняются газовые законы (pV = const, p/T = const, V/T = const). С микроскопической точки зрения – это газ, для которого можно пренебречь: 1) взаимодействием молекул между собой и 2) собственным объемом молекул газа по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ. Воздух при комнатных условиях с достаточной степенью точностью можно считать идеальным газом.
Газ характеризуют следующими величинами (параметрами состояния):
р (Н/м2 = Па - паскаль) – давление – для газов это суммарная сила ударов молекул
о стенки сосуда в расчете на единицу площади поверхности,
V (м3) объем
Т (К кельвин) абсолютная температура или температура по шкале Кельвина,
t (oC) – температура в градусах по шкале Цельсия
T (K) = t(oC) + 273,15
очевидно, что T t, Т = t
1 К = 1oC
изменение температуры по шкале Кельвина и по шкале Цельсия одинаковы
m (кг) – масса газа,
(кг/м3) – плотность – это масса газа, приходящаяся на единицу объема
(кг/моль) – молярная масса – это масса одного моля (или киломоля) - удобнее
выражать в кг/кмоль, например, для воды = 0,018 кг/моль = 18 кг/кмоль)
(моль, кмоль) – количество вещества или число молей вещества
N – общее число молекул газа в сосуде
NАв 6,021023 1/моль 6,021026 1/кмоль – число Авогадро – это число молекул в
1 моле или 1 киломоле
(1/м3) – концентрация молекул – это число молекул в единице объема (не путать с концентрацией в химии – г/литр, г/г и пр.)
Уравнение, связывающее между собой параметры состояния, называется уравнением состояния газа. Для реальных газов существуют десятки уравнений состояния, даже для одного и того же газа может быть несколько уравнений состояния для различных диапазонов температур и давлений. Одно из простейших уравнений состояния это
уравнение Менделеева – Клапейрона, которое называют также уравнением состояния идеального газа.
R 8,31 Дж/(моль.К) 8310 Дж/(кмоль.К) – универсальная газовая постоянная
Выясним физический смысл R.
Нагреем газ при постоянном давлении и запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний:
получим, вычитанием второго и первого уравнений
из этого выражения следует, что универсальная газовая постоянная численно равна работе, которую совершает 1 моль газа при нагревании его на один градус при постоянном давлении
Используя приведенные выше формулы, уравнение состояния идеального газа () можно записать как:
уравнение состояния идеального газа в другой форме, где
1,381023 Дж/К – постоянная Больцмана
Основной задачей молекулярной физики является получение связи между макроскопическими параметрами газа, т.е. величинами, которые можно измерить (давление, объем, плотность), с микрохарактеристиками его молекул и, таким образом получить сведения о скорости молекул, их энергии, диаметре, силе взаимодействия. Такое уравнение было получено трудами ряда ученых в конце XIX века и получило название основного уравнения молекулярно кинетической теории (МКТ). Выведем это уравнение, введя ряд упрощений. Будем предполагать, что молекулы не сталкиваются между собой, удары их о стенки сосуда абсолютно упругие, масса и скорость всех молекул одинаковые. Пусть газ находится в сферическом сосуде.
р – давление молекул, F – сила ударов всех молекул, F1 – сила удара одной молекулы, N – число молекул в сосуде
запишем II закон Ньютона для одной молекулы при ударе о стенку
изменение импульса молекулы при абсолютно упругом ударе
расстояние, которое проходит молекула между двумя ударами за время t (за это время ее импульс не меняется)
подставим формулы в (), после сокращений помножим на 3 и на 2
(V=4 R3/3), и получим:
или
теперь надо учесть, что у всех молекул разные скорости и ввести
средняя квадратичная скорость молекул
средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы и всех молекул в сосуде
Тогда формулы () можно записать как:
Эти выражения называют основным уравнением МКТ. Измерив давление и объем газа, можно оценить кинетическую энергию молекул и их среднюю квадратичную скорость. Из этих уравнений можно получить и уравнение состояния газа, учитывая, что из опыта: .
Сопоставляя основное уравнение МКТ с уравнением состояния идеального газа, можно найти выражение для кинетической энергии поступательного движения молекул. Из формул видно, что кинетическая энергия молекул пропорциональна абсолютной температуре. Следовательно, абсолютная температура газа является количественной мерой кинетической энергии теплового движения молекул. При абсолютном нуле
(Т = 0), согласно МКТ, любое тепловое движение молекул должно прекратиться.
Однако, это не означает полной неподвижности молекул. Остается движение (но не тепловое) с некоторой минимальной энергией, которую называют нулевой энергией.
СТЕПЕНИ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ. ЗАКОН РАВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ.
Числом степеней свободы ( i )системы называется наименьшее число независимых величин, полностью определяющих состояние системы. Это довольно сложное понятие. В качестве степеней свободы можно рассматривать координаты, углы по отношению к осям координат, моменты инерции кинетическую и потенциальную энергию и др. Нас интересует только положение молекулы в пространстве, поэтому проще всего в качестве степеней свободы взять 3 координаты центра масс молекулы xC , yC , zC и 3 ее момента инерции
IX, IY, IZ относительно осей координат.
одноатомная молекула
(материальная точка) жесткая двухатомная молекула жесткая трех и более атомная молекула
x y z xC , yC , zC, IY, IZ (IX 0 ) xC , yC , zC , IX, IY, IZ
i=iпост = 3 i=iпост + iвращ=3+2=5 i=iпост + iвращ= 3+3=6
Таким образом, у одноатомной молекулы 3 степени свободы поступательного движения, у жесткой 2-х атомной – 3 степени свободы поступательного и 2 степени свободы вращательного движений. У любой жесткой молекулы, состоящей из 3-х и более атомов – 6 степеней свободы. Если система состоит
из N свободных частиц – у нее 3N степеней свободы. В действительности атомы в молекуле совершают непрерывные колебания, поэтому к указанным степеням свободы добавляются колебательные степени свободы. Для двухатомной молекулы («гантель») добавляют 2 степени свободы колебательного движения – кинетическую и потенциальную энергии: i=iпост + iвращ + iколеб = 3+2+2=7. У более сложных молекул возможны различные виды колебаний атомов деформационные, маятниковые, веерные. Чтобы определить все виды колебаний атомов в молекуле, для каждого вещества нужно проводить исследования их спектров и сопоставлять со спектрами уже изученных ранее простейших соединений. Задача эта сложная, изучено лишь небольшое число молекул, поэтому заранее невозможно сказать, сколько колебательных степеней свободы будет у данной молекулы.
В МКТ существует закон равного распределения энергии по степеням свободы молекул: «В состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем одна и та же кинетическая энергия, равна ½ кТ».
Теперь мы можем записать выражения для полной кинетической энергии молекул с учетом их поступательного и вращательного движений.
для одной молекулы полная кинетическая энергия движения молекул идеального газа
для всех молекул газа в сосуде
С развитием науки и появлением квантовой механики, оказалось, что на поступательные и вращательные степени свободы действительно приходится по
½ кТ энергии, но энергия, приходящаяся на колебательные степени свободы, зависит от частоты колебаний и имеет более сложное выражение.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ
При выводе основного уравнения МКТ, предполагалось, что молекулы имеют одинаковые скорости, равные - средней квадратичной скорости. Даже, если предположить, что в какой-то момент у всех молекул одинаковые скорости, то через некоторое время вследствие их непрерывного хаотического движения, молекулы приобретут различные скорости.
Впервые теоретически вывел формулу для распределения молекул по скоростям Максвелл (1859 г). Впоследствии эта формула была подтверждена опытами.
формула Максвелла для распределения молекул по абсолютным скоростям .
Здесь:
m – масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа, v - скорость молекулы, N – общее число молекул в сосуде.
Выясним смысл функции f(v). Предположим, что мы можем измерить с неограниченной точностью скорость каждой молекулы. Тогда у каждой молекулы будет своя скорость. Если мы на графике отложим число молекул в зависимости от скорости, то никакой кривой распределения не получим (см. рис. первый график). Тогда мы выберем интервал скоростей, например, v = 10 м/с. В интервалы 1-10 м/с, 11-20 м/с, … попадет некоторое количество молекул N.
На графике получится столбчатая диаграмма, называемая гистограммой (второй график). Так как интервал 10 м/с мы выбрали произвольно, то чтобы от него «избавиться», надо на него поделить (N/v) и перейти к бесконечно малым величинам, т.е. отложить на графике величину (dN/dv) (третий график). Теперь надо «избавиться» от общего числа молекул N в сосуде, т.к. в разных сосудах их разное количество, и поделить на N (четвертый график) В результате мы будем иметь дело со следующими величинами.
число молекул со скоростями от v до v + dv
число молекул со скоростями от v до v + dv в расчете на единичный интервал скоростей
относительное число молекул или вероятность (Р) того, что скорость молекулы попадает в интервал от от v до v + dv
f называется плотность вероятности - это вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал от от v до v + dv в расчете на единичный интервал скоростей
Заштрихованная площадь под кривой на графике 3 равна общему числу молекул, а под кривой на графике 4 - равна 1. Скорость, соответствующая максимуму на кривой Максвелла, называется наиболее вероятной скоростью - vвер – это скорость, вблизи которой находятся скорости большинства молекул. Ее можно найти, если производную приравнять нулю: df/dv = 0.
запишем формулу Максвелла, введя обозначения А и В для констант
возьмем производную
получим выражение для наиболее вероятной скорости
Пользуясь распределением Максвелла, можно найти еще одну скорость – среднюю арифметическую. Если нужно найти средний рост группы людей, надо сложить рост всех людей и поделить на число людей. Со скоростями молекул так сделать нельзя, потому что из распределения Максвелла следует, что существует различная вероятность того, что молекула имеет ту или иную скорость, и эту вероятность следует учитывать при суммировании (точнее, интегрировании, т.к. распределение по скоростям – непрерывная функция).
это не табличный интеграл, но в справочниках он есть, мы запишем только результат
средняя арифметическая скорость молекул
Таким образом, в МКТ используются три скорости молекул, соотношение между которыми: vкв : vар : vвер = 1,22 : 1,13 : 1
средняя квадратичная скорость (применяется при рассмотрении кинетической энергии молекул )
средняя арифметическая скорость (применяется тогда, когда речь идет о свободном пробеге молекул, x= vар t)
наиболее вероятная скорость молекул
m – масса одной молекулы
БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА.
Рассматривая распределение молекул по скоростям, мы не учитывали действие внешней силы - силы тяжести – и предполагали, что молекулы равномерно распределяются по объему сосуда. В действительности распределение молекул по объему происходит под действием двух факторов: 1) силы тяжести, которая стремиться «собрать» их на дне сосуда и 2) наличием непрерывного теплового движения молекул, вследствие которого молекулы стремятся равномерно распределиться по всему объему. Это приводит к тому, что вблизи дна сосуда концентрация молекул газа больше, чем в верхней его части. В небольших сосудах это различие пренебрежимо мало, но в масштабах земной атмосферы различное распределение молекул приводит к падению давления воздуха с высотой. Выведем формулу зависимости давления воздуха p от высоты h над поверхностью Земли. Будем предполагать, что температура воздуха T постоянна и воздух идеальный газ.
гидростатическое давление на высотах h и h+ dh
плотность воздуха
вычитая, получим дифференциальное уравнение с тремя переменными p, h и
выразим из уравнения состояния и подставим в
разделим переменные p и h и, интегрируя, получим формулу, которую называют барометрической формулой
барометрическая формула. Здесь:
p – давление на высоте h,
po - давление на поверхности Земли (h = 0)
Давление р и концентрация молекул n связаны
уравнением состояния , поэтому можно записать:
это выражение называется распределением Больцмана
для молекул в поле тяжести Земли.
Если мы рассмотрим не нейтральные молекулы, а заряженные частицы, на которые будет действовать внешнее электрическое поле, то частицы будут распределяться по тому же закону, но вместо потенциальной энергии mgh, следует записать Wпот :
распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле.
Здесь:
n – концентрация частиц, имеющих потенциальную энергию Wпот ,
n0 - , находящихся на том уровне, где условно принято Wпот = 0.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
Каждая молекула в газе испытывает большое число соударений с другими молекулами, вследствие чего она непрерывно меняет направление своего движения. Молекула движется подобно броуновской частице. И хотя скорости молекул при комнатной температуре порядка сотен метров в секунду, молекула передвигается очень медленно. Получим выражения для числа столкновений z молекулы в единицу времени и среднюю длину свободного пробега молекулы Траектория движения молекулы – ломаная линия, но мы упростим вывод и сделаем следующие предположения. Пусть все молекулы неподвижны, а одна движется со скоростью v (см. рис.). Все молекулы – твердые шарики. Выделим мысленно цилиндр длиной l и диаметром 2d, где d – диаметр молекулы. Движущаяся молекула столкнется с теми молекулами, центры которых оказались внутри этого цилиндра (на рисунке это молекулы 1, 2 и 3). Если мы вычислим число молекул в цилиндре, то получим число столкновений.
N - число молекул в цилиндре, V – объем цилиндра, n – концентрация молекул, S –площадь основания цилиндра
двигаясь со скоростью , молекула проходит длину цилиндра за время t
z - число столкновений за единицу времени (1/с)
При более строгом выводе следует учесть, что другие молекулы также движутся, ввести относительную скорость, среднюю арифметическую скорость , а для числа молекул с данной скоростью использовать максвелловское распределение. Тогда в формуле для числа столкновений появится коэффициент , и можно записать:
(1/с) среднее число столкновений молекулы
за единицу времени
- средняя арифметическая скорость
- эффективный диаметр молекулы (см. ниже)
среднее время между двумя последовательными столкновениями молекулы
•
средняя длина свободного пробега молекул – это расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными
столкновениями.
Если учесть, что , то из формулы (•)следует, что при данной температуре средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению газа: 1/р. Для воздуха при температуре t = 0оС и давлении р= 1 атм средняя длина свободного пробега молекул 105 см. Число столкновений молекул между собой составляет порядка 1010 в секунду.
Подставив в (•) , мы приходим к выводу, что в закрытом сосуде (V=const) длина свободного пробега не зависит от температуры Т.
Однако из опыта следует, что даже при V=const наблюдается зависимость от Т. Это объясняется тем, что молекулы не являются твердыми шариками, их диаметр является условной величиной и поэтому называется эффективным диаметром молекул – это среднее минимальное расстояние между центрами двух молекул.
(см. рис.). Молекула 2 имея энергию Е (а она зависит от температуры), не может преодолеть потенциальный барьер и приблизиться к молекуле 1 ближе, чем на определенное расстояние. С увеличением температуры и ростом энергии молекулы это расстояние будет уменьшаться.
При очень низких давлениях, когда газ находится в разреженном состоянии, длина свободного пробега определяется только размерами сосуда.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Вследствие хаотического теплового движения молекулы, соударяясь, передают друг другу энергию и импульс, Перемещаясь, они тем самым меняют распределение массы в пространстве. Таким образом, молекулы переносят из одной области пространства в другую массу, импульс и энергию. В соответствии с этим различают три процесса переноса: 1) диффузия – перенос массы, 2) вязкость (внутреннее трение) – перенос импульса направленного движения и
3) теплопроводность – перенос кинетической энергии. Из молекулярно-кинетической теории можно получить общее уравнение переноса, поскольку все эти явления объединяются общей причиной – тепловым движением молекул.
Мы не будет приводить вывод уравнения, а рассмотрим каждый процесс в отдельности.
Диффузия.
Если в одной части пространства плотность молекул больше, чем в другой, то через некоторую мысленно выделенную площадку dS за время dt в одном направлении пройдет молекул больше, чем в противоположном. Таким образом, через площадку будет перенесена некоторая масса газа dM, и со временем плотность газа будет постепенно выравниваться. Насколько быстро будет происходить выравнивание плотности, зависит от величины, которая называется градиентом плотности. Для одномерного случая градиент равен d/dx. По смыслу в одномерном случае градиент показывает, как изменяется плотность на единице длины. Такой процесс называется самодиффузия, Если же молекулы одного вещества проникают за счет теплового движения в среду с молекулами другого вещества, процесс называется взаимной диффузией (это более сложный процесс и мы его рассматривать не будем). Уравнение для переноса массы при диффузии газа в одномерном случае имеет вид:
уравнение диффузии (закон Фика).
D (м 2/с2) – коэффициент диффузии – по смыслу – это масса газа, переносимая за единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте плотности;
j (кг/м2с) – плотность потока массы – это масса, переносимая за единицу времени
через единичную площадку.
В таком виде уравнение диффузии применимо и к газам и к жидкостям. Для идеального газа из МКТ можно получить выражение для коэффициента D:
коэффициент диффузии для идеального газа, средняя длина свободного пробега молекул, - средняя арифметическая
скорость молекул.
Вязкость (внутреннее трение)
Пусть по трубе в направлении х течет газ со скорость u (см.рис.). При этом молекулы газа одновременно участвуют в двух видах движения: направленном со скоростью u и хаотическом тепловом со скоростью v. Выделим в потоке площадку dS . За счет теплового движения молекулы будут проходить через площадку, «перенося» вместе с собой импульс направленного движения mu. Вблизи стенок за счет столкновения с ними импульс направленного движения молекул будет уменьшаться. Следовательно, слои молекул у стенок будут иметь меньшую скорость u, и, соответственно, тормозить соседние слои. В результате скорости u оказываются различными в разных точках потока, иначе говоря, скорости направленного движения распределяются по некоторому закону в зависимости от радиального направления r (часто по параболическому – см. кривую на рис.). Таким образом, при движении газа в потоке происходит торможение одних слоев газа другими – это называется внутренним трением или вязкостью, а тормозящая сила называется силой внутреннего трения.
уравнение переноса для импульса направленного движения. Это уравнение обычно не используют, а учитывая что dP/dt = F, можно получить выражение для
силы внутреннего трения, которое называется
закон Ньютона для силы внутреннего трения
Здесь:
градиент скорости, показывающий, на сколько меняется скорость направленного движения на единице длины радиального направления
- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом
динамической вязкости или коэффициентом внутреннего трения по
смыслу – он равен силе внутреннего трения, действующей на единичную
площадку при единичном градиенте скорости.
= эта величина называется кинематическим коэффициентом вязкости
- плотность газа ( - греческая буква «кси»).
Для идеального газа из МКТ коэффициент вязкости:
(кг/мс) коэффициент вязкости для идеального газа
Теплопроводность
Предположим, что газ находится между двумя стенками, имеющими температуры Т1 и Т2. Вследствие непрерывного движения молекул, они ударяются о стенки и между собой и приобретают (или отдают) свою кинетическую энергию. Так как температура газа связана с кинетической энергией поступательного движения молекул то в результате между стенками постепенно установится некоторое распределение температуры (см.рис). Процесс передачи теплоты из одного места пространства в другое за счет теплового движения молекул, называется теплопроводностью. Уравнение переноса в этом случае:
уравнение теплопроводности (уравнение Фурье).
q (Дж/м2 с) – плотность потока теплоты
коэффициент теплопроводности (-греческая буква «хи») По смыслу - это количество теплоты, прошедшее за единицу времени через единичную
площадку при единичном градиенте температуры.
градиент температуры – в одномерном случае, когда температура меняется только в направлении х – градиент показывает, на сколько изменяется температура на единице расстояния.
Это уравнение теплопроводности применимо для газов, жидкостей и твердых тел Для идеального газа из молекулярно-кинетической теории можно получить выражение:
коэффициент теплопроводности для идеального газа
сV - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме
Коэффициенты D, и носят общее название коэффициентов переноса и могут быть найдены из опыта с использованием уравнений переноса. А так как в выражения для этих коэффициентов входят микропараметры молекул газа
(, d эфф ), то, зная D, и , можно получить ценные сведения о молекулах.
Следует учитывать, что формулы для коэффициентов переноса получены в предположении, что газ – идеальный, поэтому их следует рассматривать только, как приближенные.
Несмотря на то, что скорости молекул огромны – сотни и тысячи метров в секунду, процессы переноса происходят медленно. Это известно из повседневного опыта, связанного с обогревательными устройствами. Объясняется это тем, что с огромной скоростью молекула движется от одного столкновения до другого, после столкновения направление ее движения меняется, вплоть до противоположного. Путь молекулы – ломаная линия. Поэтому продвигается молекула по объему в целом медленно.
Молекулярно0кинетическая теория хорошо объясняет многие явления в газах в тех случаях, когда газы по своим свойствам близки к идеальным, т.е. размеры их молекул малы и между молекулами очень слабое взаимодействие. В тех случаях, когда взаимодействием молекул пренебречь нельзя, результаты, получаемые из МКТ, значительно хуже соответствуют опытным фактам, поскольку учесть это взаимодействие очень трудно.
ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им. И.М.Губкина (продолжение 4)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. ПЕРВОЕ НАЧАЛО
ТЕРМОДИНАМИКИ
Термодинамика – это раздел физики, в котором рассматриваются любые процессы (механические, электрические, магнитные, химические и др.) с учетом сопровождающих их тепловых явлений. Термодинамика, как и молекулярная физика, применима только к системам, состоящим из очень большого числа частиц (нельзя применять законы термодинамики к 2-3 молекулам). В термодинамике не рассматривается поведение частиц внутри системы. Вся система изучается в целом и характеризуется едиными для системы характеристиками, например, теплоемкостью, диэлектрической или магнитной проницаемостью и пр.
В основе термодинамики лежат два начала (закона), полученные на основе опытных данных. I начало термодинамики – это по существу закон сохранения энергии с учетом тепловых явлений, II начало термодинамики определяет направление протекания физических процессов. И первое, и второе начало термодинамики имеют по нескольку формулировок. Но вначале мы должны ввести основные понятия, которые используются в термодинамике.
Термодинамическая система - это система, состоящее из большого числа частиц. Состояние системы описывается макропараметрами температура, давление, объем, намагниченность и многие другие. Термодинамическое равновесие или состояние термодинамического равновесия – это состояние, в которое самопроизвольно приходит система, находящаяся в неизменных внешних условиях. В состоянии равновесия макроскопические параметры состояния (например, p,V,T) остаются неизменными, хотя микроскопические характеристики частиц системы все время меняются.
Процессом называется переход из одного равновесного состояния в другое, сопровождающийся изменением хотя бы одного параметра. В термодинамике обычно рассматривается идеализированный процесс, который называется обратимым процессом это такой процесс перехода системы из состояния А в состояние В, при котором возможен обратный переход от В к А через те же промежуточные состояния и при этом в окружающих телах не происходит никаких изменений. Система называется изолированной, если она не обменивается энергией с окружающей средой. На графике состояния обозначаются точками, а процессы – линиями.
Величины, которые зависят только от состояния системы и не зависят от процессов, посредством которых система пришла в данное состояние, называются функциями состояния. К таким величинам относятся: внутренняя энергия U, энтропия S, температура Т и др. Бесконечно малое изменение таких величин обозначают как dU, dS, т.е. знаком полного дифференциала «d». Величины, значения которых в данном состоянии зависят от предшествующих процессов, называются функциями процессов это теплота Q и работа A, их изменение обозначают часто как Q, A или . ( - греческая буква - дельта)
Работа и теплота – это две формы передачи энергии от одних тел к другим. При совершении работы меняется относительное расположение тел или частей тела. Передача энергии в виде теплоты осуществляется при контакте тел – за счет теплового движения молекул.
количество теплоты, передаваемое при нагревании (охлаждении) тела. Формулы получены опытным путем и применимы к газам, жидкостям и твердым телам
с (Дж/кг.К) удельная теплоемкость - по смыслу – это количество теплоты, необходимое для нагревания единичной массы на один градус
С (Дж/кмоль.К) молярная теплоемкость это количество теплоты, необходимое для нагревания одного киломоля (или моля) вещества на один градус
связь между молярной и удельной теплоемкостями
Для жидкостей и твердых тел теплоемкость практически не зависит от давления и объема. Для газов теплоемкость оказывается различной в зависимости от того, как производится процесс – при постоянном давлении или постоянном объеме, поэтому вводят Ср и СV.(см. дальше).
работа в газах (по определению):
( )
«+»А – работа газа
«»А – работа внешних сил над газом
только при постоянном давлении
К внутренней энергии относят: 1)кинетическую энергию теплового движения молекул (но не кинетическую энергию всей системы в целом), 2)потенциальную энергию взаимодействия молекул между собой, 3)кинетическую и потенциальную энергию колебательного движения атомов в молекуле, 4)энергию связи электронов с ядром в атоме, 5)энергию взаимодействия протонов и нейтронов внутри ядра атома. Эти энергии по величине очень сильно отличаются друг от друга, например, энергия теплового движения молекул при 300 К 0,04 эВ, энергия связи электрона в атоме 20-50 эВ, а энергия взаимодействия нуклонов в ядре 10 МэВ. Поэтому эти взаимодействия рассматривают по отдельности.
Внутренняя энергия идеального газа – это кинетическая энергия теплового движения его молекул. Она зависит только от температуры газа. Ее изменение имеет одинаковое выражение для любых процессов в идеальных газах и зависит только от начальной и конечной температур газа.
внутренняя энергия идеального газа
изменение внутренней энергии идеального газа
Часто используют слова «тепловая энергия», «запас теплоты» при этом имеют в виду внутреннюю энергию, запас внутренней энергии.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Первое начало термодинамики получено на основании множества опытных данных – по сути это закон сохранения энергии с учетом тепловых явлений. Оно имеет несколько формулировок.
1 «Теплота Q, сообщаемая системе идет на увеличение внутренней энергии dU системы и на работу A, совершаемую системой против внешних сил»
2 «Изменение внутренней энергии dU системы происходит только за счет сообщения ей теплоты и (или) совершения над ней работы внешними силами»(А = А)
3 «Невозможно построить вечный двигатель первого рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который совершал бы работу бóльшую, чем затраченная теплота» если система возвращается в исходное состояние,
dU = 0 и A= Q
Первое начало термодинамики «разрешает» построение такой тепловой машины, которая переводила бы всю затраченную теплоту в работу. Такая машина получила название вечного двигателя второго рода. Но согласно второму началу термодинамики создание такой машины невозможно. Иначе говоря, в любой тепловой машине всегда получается работы меньше, чем затрачивается энергии, часть затраченной энергии рассеивается в окружающей среде.
Рассмотрим первое начало термодинамики в применении к изопроцессам и адиабатическому процессу для идеальных газов.
При этом удобно представлять себе тепловую машину в виде цилиндра с поршнем (трение пренебрежимо мало), на котором находится груз. При нагревании газ расширяется и «поднимает» груз, т.е. совершает работу против внешних сил - силы тяжести груза и силы атмосферного давления.
процесс I начало термодинамики
изохорический
теплота идет только на увеличение внутренней энергии газа (dV=0, A=0)
изобарический
теплота идет на увеличение внутренней энергии газа и на работу газа против внешних сил
изотермический
внутренняя энергия газа не меняется, а вся теплота идет на работу газа против внешних сил (dT=0, dU=0)
адиабатический
в адиабатическом процесса (происходящем без теплообмена с внешней средой) система может совершить работу только за счет убыли ее внутренней энергии
Теперь рассмотрим каждый процесс в отдельности и выясним, какие полезные сведения можно получить при применении I начала термодинамики.
Изохорический процесс. Его можно осуществить, нагревая газ при закрепленном поршне. Подставим выражения для dQ и dU (формулы и рис. см. выше).
;
после сокращений получим выражение для теплоемкости СV
молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме
она не зависит от температуры и определяется только числом степеней свободы молекул
Изобарический процесс. Нагреваем газ при свободном ходе поршня – поршень будет перемещаться, когда давление внутри превышает давление извне (а оно постоянно). Если эти давления сравняются, поршень остановится.
подставим dQ, dU и А в I начало и после сокращений получим Ср
молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении – не зависит от температуры
связь между молярными теплоемкостями, Ср СV потому, что при теплота идет не только на увеличение внутренней энергии, но и на работу против внешних сил
Изотермический процесс. Представим себе, что цилиндр с поршнем помещен в очень большой сосуд с жидкостью. Вначале температура Т у жидкости и газа одинакова. Будем очень медленно поднимать поршень. Газ расширится, его температура уменьшится на dT, и теплота от жидкости перейдет к газу. При этом температура жидкости практически не изменится, т.к. у нее очень большой запас внутренней энергии. Перемещая бесконечно медленно поршень, мы в результате нагреем газ при постоянной температуре. Опуская поршень, мы таким же образом можем охладить газ. Естественно, такой процесс реально не осуществим, это идеализация, но она важна при теоретическом рассмотрении процессов в газах.
теплоемкость газа при становится бесконечно большой, т.е. все тепло, подводимое к газу «перерабатывается» им и переводится в работу
Адиабатический процесс – это процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Его можно практически осуществить двумя способами:
1)теплоизолировать цилиндр – лучший теплоизолятор – вакуум, и перемещать поршень или 2) очень быстро переместить поршень, так чтобы теплообмен с окружающей средой не успел осуществиться (теплообмен – медленный процесс при не очень больших Т).
из I начала термодинамики; чтобы проинтегрировать это уравнение, надо «избавиться» от одной из переменных
p,V, T.
найдем dT, продифференцировав уравнение Менделеева-Клапейрона и подставим в
сокращая и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение с двумя переменными p и V
разделим переменные, обозначим
= Ср / СV и проинтегрируем; lnС – константа интегрирования
Таким образом, на основе I начала термодинамики мы получили уравнение адиабатического процесса. Так как при таком процессе изменяются все три параметра p,V,T, то для адиабаты можно записать три уравнения процесса:
уравнения адиабатического процесса. Для получения второго и третьего уравнений следует использовать уравнение Менделеева – Клапейрона
показатель степени адиабаты или коэффициент Пуассона
Работу, совершаемую при адиабатическом процессе можно найти, проинтегрировав уравнение I начала термодинамики: .
или
Работу можно выразить через другие параметры, используя уравнения адиабаты:
Пусть газ находится в некотором состоянии с
объемом V. Зададимся вопросом, как выгоднее
проводить расширение газа – адиабатически или
изотермически? Ответ – адиабатически (быстро
поднять поршень в цилиндре), т.к. площадь под
адиабатой меньше. А сжимать газ выгоднее
изотермически (очень медленно).
Теплоемкость газов.
Из приведенных выше формул следует, что теплоемкость идеального газа не зависит от температуры газа, а определяется только числом степеней свободы молекул. Для многих одноатомных и двухатомных газов опыт подтверждает этот вывод для умеренных температур. Но при низких и высоких температурах наблюдается характерная зависимость теплоемкости от температуры. На графике приведена несколько идеализированная зависимость молярной теплоемкости от температуры для двухатомного газа. Простейшее объяснение такой зависимости состоит в следующем. При низких температурах преобладает поступательное движение молекул. С ростом температуры все больше молекул начинают участвовать во вращательном движении. С дальнейшим повышением температуры более интенсивно происходят колебания атомов в молекулах. В действительности объяснить зависимость теплоемкости от температуры можно только на основе квантовой механики.
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
II начало термодинамики, как и I начало, является обобщением большого числа опытных фактов и имеет несколько формулировок.
Введем сначала понятие «энтропия», которое играет ключевую роль в термодинамике. Энтропия S – одна из важнейших термодинамических функций, характеризующая состояние или возможные изменения состояния вещества – это многогранное понятие.
1)Энтропия – это функция состояния. Введение таких величин ценно тем, что при любых процессах изменение функции состояния одинаково, поэтому сложный реальный процесс можно заменить «выдуманными» простыми процессами. Например, реальный процесс перехода системы из состояния А в состояние В (см. рис.) можно заменить на два процесса: изохорический АС и изобарический СВ.
Энтропия определяется следующим образом.
«Бесконечно малое изменение энтропии равно элементарному количеству теплоты, получаемому системой, отнесенному к температуре, при которой это тепло передается»
конечное изменение энтропии. Величину Q/T называют приведенной теплотой, поэтому можно дать такое определение: изменение энтропии равно сумме приведенных теплот.
Для обратимых процессов в идеальных газах можно получить формулы для вычисления энтропии в различных процессах. Выразим dQ из I начала и подставим ввыражение для dS .
общее выражение для изменения энтропии в обратимых процессах.
Интегрируя, получим выражения для изменения энтропии в различных изопроцессах в идеальных газах..
p=const
изобарический +
V=const
изохорический
T=const
изотермический
адиабатический dQ=0 dS=0 S=const
Во всех расчетах энтропии имеет значение только разность энтропий конечного и начального состояний системы
2)Энтропия мера рассеяния энергии.
запишем I начало термодинамики для обратимого изотермического процесса, учитывая, что Q=TdS и выразим работуА
термодинамическая функция называется свободной энергией
величина называется связанной энергией
Из формул можно сделать вывод, что в работу можно перевести не весь запас внутренней энергии системы U. Часть энергии TS нельзя перевести в работу, она рассеивается в окружающей среде. И эта «связанная» энергия тем больше, чем больше энтропия системы. Следовательно, энтропию можно назвать мерой рассеяния энергии.
3)Энтропия – мера беспорядка системы
Введем понятие термодинамической вероятности. Пусть мы имеет ящик, разделенный на n отсеков. В ящике по всем отсекам свободно перемещается N молекул. В первом отсеке окажется N1 молекул, во втором отсеке N2 молекул,…,
в n-ом отсеке Nn молекул. Число способов w, которыми можно распределить N молекул по n состояниям (отсекам) называется термодинамической вероятностью. Иначе говоря, термодинамическая вероятность показывает, сколькими микрораспределениями можно получить данное макрораспределение Она вычисляется по формуле:
Для примера вычисления w рассмотрим систему, состоящую из трех молекул 1, 2 и 3, которые свободно перемещаются в ящике с тремя отсеками.
В данном примере N = 3 (три молекулы) и n = 3(три отсека), молекулы считаются различимыми.
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3 2 1 3 2
2 1 3 2 3 1
2 3 1
3 1 2
3 2 1
В первом случае макрораспределение – это равномерное распределение молекул по отсекам, оно может осуществиться 6-ью микрораспределениями. Вероятность такого распределение самая большая. Равномерное распределение можно назвать «беспорядком» (по аналогии с разбросанными вещами в комнате) В последнем случае, когда молекулы собираются только в одном отсеке вероятность наименьшая. Проще говоря, из повседневных наблюдений мы знаем, что молекулы воздуха более или менее равномерно распределяются в помещении, и практически совершенно невероятно, чтобы все молекулы собрались в одном углу комнаты. Однако теоретически такая вероятность существует.
Больцман постулировал, что энтропия прямо пропорциональна натуральному логарифму термодинамической вероятности:
Следовательно, энтропию можно назвать мерой беспорядка системы.
Теперь мы можем сформулировать II начало термодинамики.
1)При любых процессах, происходящих в теплоизолированной системе, энтропия системы не может убывать:
Знак «=» относится к обратимым процессам, знак «>» к необратимым (реальным) процессам. В незамкнутых системах энтропия может меняться любым образом.
Иначе говоря, в замкнутых реальных системах возможны только те процессы, при которых энтропия возрастает. Энтропия связана с термодинамической вероятностью, следовательно, ее увеличение в замкнутых системах означает рост «беспорядка» системы, т.е. молекулы стремятся прийти в одинаковое энергетическое состояние и с течением времени все молекулы должны иметь одинаковую энергию. Отсюда был сделан вывод о стремлении нашей Вселенной к тепловой смерти. «Энтропия мира стремится к максимуму» (Клаузиус). Так как законы термодинамики выведены на основе человеческого опыта в масштабах Земли, то вопрос об их применимости в масштабах Вселенной остается открытым
2) «Теплота не может сама собой переходить от менее нагретого к более нагретому телу» (Клаузиус).
Для этого требуется работа внешних сил. Теоретически переход теплоты от холодного тела к горячему возможен. Но отношение вероятностей перехода, например, 1 эрг = 107 Дж теплоты от тела с температурой 300 К к телу с температурой 301 К и наоборот составляет примерно 1: , но передача теплоты в количестве 1011 эрг =1018 Дж дает уже отношение вероятностей 2,7.
3) «Невозможно построить вечный двигатель второго рода, т.е. такую периодически действующую машину, действие которой состояло бы только в поднятии груза и охлаждении теплового резервуара» (Томсон, Планк)
Обязательно должно быть еще тело, которому «придется» отдать часть теплоты. Просто отнимать тепло от некоторого тела и превращать его в работу невозможно потому, что такой процесс сопровождается уменьшением энтропии нагревателя. Следовательно, нужно еще одно тело – холодильник, энтропия которого будет увеличиваться, чтобы S = 0. Т.е. у нагревателя забирается теплота, за счет этого может быть совершена работа, но часть теплоты «теряется», т.е. передается холодильнику.
КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (ЦИКЛЫ)
Круговым процессом или циклом называется такой процесс, при котором система, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если процесс осуществляется по часовой стрелке, он называется прямым, против часовой стрелки – обратным. Т.к. внутренняя энергия является функцией состояния, то в круговом процессе
система может получать или отдавать теплоту, совершать работу, но внутренняя энергия системы при этом остается постоянной.
Устройство, в котором затрачивается теплота, а получается работа, называется тепловой машиной. Все тепловые машины работают по прямому циклу, состоящему из различных процессов. Устройство, работающее по обратному циклу, называется холодильной машиной. В холодильной машине затрачивается работа, а в результате от холодного тела отнимается теплота, т.е. происходит дополнительное охлаждение этого тела.
Рассмотрим цикл Карно для идеальной тепловой машины. Предполагается, что рабочее тело – идеальный газ, трение отсутствует. Этот цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, реально не осуществим, но он сыграл огромную роль в развитии термодинамики и теплотехники и позволил проанализировать коэффициент полезного действия (КПД) тепловых машин.
1-2 изотермическое расширение
сообщаемое тепло идет на работу газа
2-3 адиабатическое расширение
газ совершает работу за счет внутренней энергии
3-4 изотермическое сжатие
внешние силы сжимают газ, передавая теплоту окружающей среде
4-1 адиабатическое сжатие
над газом совершается работа, его внутренняя энергия увеличивается
( - из уравнений адиабат)
полная работа за цикл;
на графике полная А равна площади, охватываемой кривой 1-2-3-4-1
Таким образом, за цикл газу было сообщено Q1 теплоты, холодильнику передано Q2 теплоты и получена работа А.
работа, полученная за один цикл
Т1 – температура нагревателя
Т2 – температура холодильника КПД цикла Карно – это максимально возможный КПД тепловых машин.
Из полученного выражения следует, что: 1) КПД всегда меньше единицы,
2)КПД не зависит от рода рабочего тела, а только от температуры нагревателя и холодильника, 3)чтобы повысить КПД нужно увеличить температуру нагревателя и уменьшить температуру холодильника. В современных двигателях в качестве нагревателя используются горючие смеси бензин, керосин, дизельное топливо и др., имеющие определенные температуры горения. Холодильником служит чаще всего окружающая среда. Следовательно, реально увеличить КПД можно только за счет уменьшения трения в различных узлах двигателя и машины.
АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Молекулы представляют собой сложные системы электрически заряженных частиц. Основная масса молекулы и весь ее положительный заряд сосредоточены в ядрах, их размеры порядка 1015 1014 м, а размер самой молекулы, включая электронную оболочку, примерно 1010 м. В целом молекула электрически нейтральна. Электрическое поле ее зарядов в основном сосредоточено внутри молекулы и за ее пределами резко убывает. При взаимодействии двух молекул одновременно проявляются и силы притяжения и силы отталкивания, они по-разному зависят от расстояния между молекулами (см рис.- пунктирные линии). Одновременное действие межмолекулярных сил дает зависимость силы F от расстояния r между молекулами, характерную и для двух молекул, и атомов, и ионов (сплошная кривая). На больших расстояния молекулы практически не взаимодействуют, на очень малых расстояния преобладают силы отталкивания. На расстояниях, равных нескольким диаметрам молекул действуют силы притяжения. Расстояние ro между центрами двух молекул, на котором F=0, это положение равновесия. Так как сила связана с потенциальной энергией F=dEпот /dr, то интегрирование даст зависимость потенциальной энергии от r (потенциальная кривая). Равновесное положение соответствует минимуму потенциальной энергии Umin . Для различных молекул вид потенциальной кривой аналогичен, но числовые значения ro и Umin различны и определяются природой данных молекул.
Кроме потенциальной, молекула обладает еще и кинетической энергией. Минимальная потенциальная энергия у каждого сорта молекул своя, а кинетическая энергия зависит от температуры вещества (Екин кТ). В зависимости от соотношения между этими энергиями данное вещество может находиться в том или ином агрегатном состоянии. Например, вода может быть в твердом состоянии (лед), в жидком и в виде пара.
кТ Umin твердое состояние молекулы образуют кристалл и колеблются около положений равновесия
кТ Umin газообразное состояние тепловое движение препятствует соединению молекул
кТ Umin жидкое состояние молекулы непрерывно обмениваются местами, но расстояние между ними остается примерно одинаковым
У инертных газов Umin невелики, поэтому они переходят в жидкое состояние при очень низких температурах. У металлов большие величины Umin поэтому они находятся в твердом состоянии вплоть до температуры плавления – это могут быть сотни и тысячи градусов.
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
На рис. представлены кривые для различных газов, показывающие степень отклонения их от идеальности. По вертикальной оси отложена безразмерная величина, pVM/RT, где VM - молярный объем, по горизонтали – давление. При низких давлениях газы можно считать идеальными с достаточной степенью точности. При высоких давлениях наблюдается значительное отклонение от идеальности. Ван-дер-Ваальс (1873 г) внес поправки к уравнению состояния идеального газа, учитывающие взаимодействие молекул между собой и собственный объем молекул, и предложил новое уравнение состояния. Уравнение Ван-дер-Ваальса далеко не всегда выполняется для реальных газов, но оно ценно тем, что по измеренным величинам p, V, T можно оценить размер молекул и силу их взаимодействия.
В настоящее время в качестве уравнения состояния чаще всего используется уравнение, называемое вириальным разложением.
Коэффициенты B,C,D,… вириальные коэффициенты.
Из вириального уравнения с одним коэффициентом В можно получить уравнение Ван-дер-Ваальса.
уравнение Ван-дер-Ваальса
(1/м3) - молярный объем
называют кинетическим объемом, это объем, доступный для перемещения молекул
Поправка на собственный объем молекул. Заштрихованный объем – объем недоступности– он в 4 раза больше объема молекулы («1/2», так как нельзя учитывать
одну и ту же молекулу дважды), d- диаметр молекулы,
NАв число Авогадро
Поправка к давлению, учитывающая взаимодействие молекул между собой. р называют собственным давлением молекул. Молекулы реального газа из-за взаимодействия как бы сами себя сжимают.
При такой записи уравнения Ван-дер-Ваальса видно, что давление на стенки в случае реального газа меньше, чем для идеального. Число ударов о стенку пропорционально концентрации молекул в сосуде n. При ударе одной молекулы на нее действует притяжение всех остальных молекул, ослабляя удар. Следовательно, давление ослабляется пропорционально n2 = (N/V)2 1/V2 .
ИЗОТЕРМЫ РЕАЛЬНОГО ГАЗА
На рисунке приведены три изотермы, вычисленные по уравнению Ван-дер-Ваальса. При высоких температурах (Т2) кривая аналогична гиперболической изотерме идеального газа. При низких температурах (Т1) кривая имеет изгибы abcd, (т.к. это уравнение третьей степени по V). Изотерма Тк имеет один перегиб. Эту температуру называют критической температурой. Экспериментально полученные изотермы для различных газов имеют такой же характер, за исключением участка abcd. При этом в области правее критической изотермы вещество находится в газообразном состоянии. Левее точки d, (заштрихованная колоколообразная область) начинается частичная конденсация газа и образуется неустойчивая двухфазная система газ-жидкость. Левее этой области газ переходит в жидкое состояние. Экспериментально весь участок abcd получить нельзя. При очень тщательном проведении эксперимента можно получить небольшие участки ab (перегретая жидкость) и cd (перегретый пар). Если газ находится при температуре Т Тк, то никаким сжатием его невозможно перевести в жидкое состояние. Но если газ охладить до Т Тк, то простым сжатием его можно превратить в жидкость. Поэтому в области левее от Тк,
выделена область «пар», хотя это такое же газообразное состояние.
КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
На рисунке на критической изотерме указана точка К – это критическая точка, ей соответствуют критические параметры pk , Vk и Тk.. Так как это точка перегиба, то для нее первая и вторая производные должны быть равны нулю.
(1)
запишем уравнение Ван-дер-Ваальса в указанном виде, V VM – молярный объем
(2)
из этих уравнений, разделив первое уравнение на второе, найдем выражение для критического объема Vk
критические
параметры
подставив Vk в (2), получим критическую температуру Тk ;
подставив Vk и Тk в (1) и найдем критическое давление рк
Каждое вещество имеет определенные значения критических параметров. Критическая температура – это такая температура, при которой исчезает разница между жидким и газообразным состоянием. Для гелия Тк 269 оС, для воды Тk. 374 Со, pk 218 атм. Опыты по определению критических параметров представляют собой большие трудности. Участок вблизи критической точки – это почти горизонтальная прямая, поэтому при значительном изменении объема давление меняется очень мало. Можно провести такой качественный опыт. Заполнить примерно на одну треть стеклянную ампулу с жидким эфиром и запаять ее. При этом четко видна граница жидкости. Если нагревать ампулу, то при температуре около 180 оС граница мгновенно исчезает и содержимое ампулы становится молочно белого цвета, это и есть переход в критическое состояние.
Определение параметров критического состояния имеет большое значение при исследовании веществ. Если для исследуемого вещества выполняется уравнение Ван-дер-Ваальса, то измеряя опытным путем pk , Vk и Тk., можно найти поправки a и b и получить сведения о свойствах молекул – их объеме и взаимодействии. При использовании вириального уравнения, коэффициенты В и С также связаны со свойствами молекул.
ВНУТРЕНЯЯ ЭНЕРГИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА.ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ-ТОМСОНА.
Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию поступательного и вращательного движения его молекул, она зависит только от температуры. В реальных газах существует взаимодействие между молекулами, поэтому внутренняя их энергия – это сумма кинетической и потенциальной энергий. Вычислив работу по расширению реального газа в пустоту, можно найти потенциальную энергию взаимодействия молекул. Будем считать, что газ подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса.
собственное давление молекул газа и работа против сил взаимодействия, V VM – молярный объем
Чем молекулы дальше друг от друга, тем потенциальная энергия их взаимодействия больше. Если принять W = 0, получим W 0
Таким образом, внутренняя энергия реального газа, для которого выполняется уравнение Ван-дер-Ваальса, равна: U=Wкин + Wпот
(Дж/моль)
внутренняя энергия реального газа
(для одного моля),CV - молярная теплоемкость при постоянном объеме
(Дж/моль)
внутренняя энергия идеального газа
(приведена для сравнения)
Рассмотрим теперь расширение идеального и реального газов в вакуум.
Пусть в сосуде 1 находится идеальный газ, а в сосуде 2 – вакуум (см. рис). Если теплоизолировать систему и открыть кран, то газ
будет адиабатически (Q = 0) расширяться в пустоту, где внешнее давление рвнеш = 0 и, следовательно, работа A = 0,
т.е. расширяясь, газ не совершает работу. Согласно I началу термодинамики: dU = A = 0. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа и, соответственно, температура газа остаются постоянными: U = const, T = const
Рассуждая аналогично, для реального газа получим:
из I начала термодинамики: U2 = U1, отсюда можно получить формулу для изменения температуры газа
изменение температуры реального газа при его расширении в вакуум
Явление изменения температуры газа при его расширении от давления р1 до давления р2 называется эффектом Джоуля Томсона, по имени ученых которые впервые его наблюдали. Для большинства газов при комнатной температуре температура газа понижается, а для водорода и гелия повышается. Это можно объяснить тем, что в действительности газ расширяется не в вакуум, а от давления р1 до давления р2, т.е. совершается работа сначала внешними силами, а затем против внешних сил и . Если выразить давление из уравнения Ван-дер-Ваальса, то получим более общее выражение для изменения температуры газа при расширении, в которые входят поправки на взаимодействие молекул (а) и их собственный объем (b):
У различных газов при различных начальных объеме и температуре в большей или меньшей степени может сказываться роль взаимодействия молекул между собой или их собственный объем. Даже для одного и того же газа в зависимости от начальных условий Т1 и V1 изменение температуры при расширении может быть 0 или 0. Начальная температура, при которой происходит перемена знака в эффекте Джоуля – Томсона, называется температурой инверсии. Эффект Джоуля – Томсона используется для получения низких температур. При транспортировке газа по трубам при резком сужении диаметра трубы может понизиться температура газа, а при наличии в нем влаги образуются гидраты – снегоподобные вещества, которые могут закупорить трубу.
ЖИДКОСТИ
Жидкости по своему строению занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Однако, по структуре они все же ближе к твердым телам. Так, рентгенограмма воды схожа с рентгенограммой льда, она показывает наличие некоторой упорядоченности в молекулярной структуре воды. Вблизи данной молекулы группируется определенное количество других молекул, причем существует определенный порядок в их расположении. Чем дальше от данной молекулы, тем беспорядоченнее располагаются другие молекулы по отношению к данной.
В жидкости вследствие теплового движения молекулы некоторое время колеблются около положений равновесия, а затем перескакивают в новое положение равновесия. По образному выражению Френкеля молекулы жидкости ведут «оседло-кочевой образ жизни». Если теория газов достаточно хорошо развита и может объяснить большинство наблюдаемых их свойств, квантовая теория твердых тел тоже достигла больших успехов, то теория жидкого состояния далека еще от завершения.
Основные особенности жидкого состояния.
1) Жидкости сохраняют свой объем, но не имеют определенной формы.
2) Жидкости практически несжимаемы. Из-за сильного взаимодействия молекул между собой, они сами себя как бы сжимают. Внутреннее давление, возникающее из-за взаимодействия молекул, очень велико. Например, для воды порядка 17000 атм, для ртути порядка 40000 атм. Это свойство жидкостей используется в гидравлических устройствах: подъемниках, прессах, тормозных устройствах.
3) С увеличением температуры увеличивается объем жидкости. Исключение составляет вода, объем которой в интервале (0 4) оС уменьшается за счет ассоциации молекул в группы.
4) Наличие поверхностного натяжения на границе жидкости.
Поверхностное натяжение. На молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул. Если молекула находится внутри жидкости, эти силы уравновешены. Если молекула находится вблизи поверхности, то возникает сила, направленная внутрь жидкости. Поэтому, чтобы извлечь молекулу из глубины на поверхность, т.е. увеличить поверхность жидкости, требуется совершить работу. Эта работа пропорциональна увеличению площади поверхности: dA dS. Вводя коэффициент пропорциональности , можно записать:
(Дж/м2)
называется коэффициентом поверхностного натяжения. По смыслу он представляет собой работу, которую надо совершить, чтобы увеличить площадь поверхности на единицу при постоянной температуре. Это так называемый энергетический смысл . Молекулы на поверхности обладают дополнительной потенциальной энергией. Любая система стремится перейти в состояние с наименьшей потенциальной энергией, поэтому поверхность жидкости стремится приобрести форму с наименьшей площадью поверхности. Небольшие объемы жидкости приобретают круглую форму (у шара наименьшая площадь поверхности).
Коэффициенту поверхностного натяжения можно придать также силовой смысл. Пусть на проволочном каркасе с подвижной стороной АВ = l образована тонкая пленка жидкости (см. рис.). Под действием груза массой m пленка растянулась на х, при этом сила тяжести совершила работу А = mgх = 2Fх Дальнейшему растяжению препятствуют силы поверхностного натяжения F . Подставим в формулу и получим: . Таким образом
(Н/м)
Из этой формулы коэффициент поверхностного натяжения можно определить так: численно равен силе, действующей по касательной к поверхности жидкости, в расчете на единицу длины раздела поверхности.
Поверхностное натяжение жидкостей приводит к явлению, называемому смачиванием. На рис. показано, какую форму может принимать капля одной и той же жидкости на разных поверхностях. Угол между касательными, проведенными к поверхности жидкости и твердого тел, называется краевым углом смачивания.
=0 полное смачивание
0 /2 смачивание (1)
/2 несмачивание (2)
полное несмачивание (3)
Почему одна и та же жидкость может быть смачивающей или несмачивающей, можно объяснить с помощью приведенного рисунка. Обозначим молекулы жидкости символически буквой A , молекулы вещества подложки – B и молекулы окружающего воздуха или паров жидкости - C, силы их взаимодействия, соответственно, FAA, FAB FBB,… Силы FBС и FАС, FAA и FВВ , т.к. концентрация молекул С (газ) по сравнению с концентрациями молекул А и В пренебрежимо мала (это конденсированные среды). Если силы FAB FAA , жидкость будет смачивать поверхность, если FAB FAA, будет наблюдаться несмачивание.
Явление смачивания играет большую роль в природе и технике. Например, при обогащении руд методом флотации в породу вводят специальные вещества, которые обволакивают ценную руду, делая ее несмачиваемой для воды. Пузырьки воздуха, подаваемого в раствор, пристают к к кусочкам руды, и порода всплывает.
Смачивание приводит к тому, что на стенках сосуда жидкость как бы «ползет» по стенке, и ее поверхность искривляется. В широком сосуде это искривление практически незаметно. В узких трубках – капиллярах – этот эффект можно наблюдать визуально. За счет сил поверхностного натяжения создается дополнительное (по сравнению с атмосферным) давление р, направленное к центру кривизны поверхности жидкости.
формула Лапласа для дополнительного давления над (при смачивании) или под (при несмачивании) искривленной поверхностью жидкости (см. рис.)
Поверхность может быть выпуклой с разными радиусами кривизны R1 и R2 (+) или выпукло - вогнутой ()
Дополнительное давление вблизи искривленной поверхности жидкости р приводит к подъему (при смачивании) или опусканию (при несмачивании) жидкости в капиллярах.
При равновесии дополнительное давление равно гидростатическому давлению столбика жидкости. Из формулы Лапласа для капилляра круглого сечения p = 2 /R, гидростатическое давление р = g h. Приравнивая р = р, найдем h.
высота подъема жидкости
в капилляре
– коэффициент поверхностного натяжения
- краевой угол смачивания
- плотность жидкости
R – радиус кривизны поверхности жидкости
r = Rcos – радиус капилляра
Из формулы видно, что чем меньше радиус капилляра, тем выше подъем (или опускание) жидкости.
Явление капиллярности чрезвычайно распространено в природе и технике. Например, проникновение влаги из почвы в растения осуществляется посредством подъема ее по капиллярным каналам. К капиллярным явлениям относится также такое явление, как движение влаги по стенам помещения, приводящее к сырости. Очень большую роль капиллярность играет при добыче нефти. Размеры пор в породе, содержащей нефть, чрезвычайно малы. Если добываемая нефть окажется несмачивающей по отношению к породе, то она закупорит канальца, и извлечь ее будет очень трудно. Добавляя к жидкости некоторые вещества даже в очень малом количестве, можно существенно изменить ее поверхностное натяжение. Такие вещества называются поверхностно-активными веществами.
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments:
Post a Comment