Движение планет и искусственных спутников. Первая космическая скорость

Законы Кеплера

Из курса астрономии известно, что планеты солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, которые по форме близки к окружностям. Эти орбиты лежат почти в одной плоскости. Большинство планет солнечной системы имеют естественные спутники, а вокруг Земли кроме Луны обращается большое количество искусственных спутников.

Движение планет, их спутников и искусственных небесных тел подчиняется общим закономерностям. Законы движения планет были открыты в начале XVII в. немецким ученым Кеплером. Законы Кеплера формулируют так.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.

Третий закон: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Влияние скорости тела на форму орбиты.
Космические скорости.

На основе законов Кеплера, а также наблюдений за движением Луны Ньютон установил закон всемирного тяготения. Выяснилось, что под действием взаимного тяготения тела могут двигаться друг относительно Друга по эллипсу, параболе и гиперболе. Вид траектории (форма орбиты), по которой движется тело под действием силы тяготения, зависит от его скорости. В частности, при определенной скорости тело будет двигаться в поле тяготения другого тела по окружности.

Скорость, которую надо сообщить телу при запуске с какой-либо планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником и при этом двигалось по окружности, центр которой совпадает с центром данной планеты, называют первой космической. Для разных планет значения первой космической скорости различны. Определим первую космическую скорость для Земли.

На рисунке схематически изображено движение искусственного спутника (ИС) по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли (R - радиус Земли, а v1 - первая космическая скорость спутника).

Поскольку спутник движется равномерно по окружности радиуса r=R+h, его центростремительное ускорение, вызываемое силой тяготения Земли, составляет
a=v12/r= v12/(R+h). (2.34)

Модуль силы тяготения
Fт=GMm/r2=GMm/(R+h)2. (2.35)

где m - масса спутника; М - масса Земли; G - гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньютона, a=F/m, следовательно,
a=GM/(R+h)2. (2.36)

Из 2.34 и 2.36 находим, что
v1=Ц[GM/(r+h)]. (2.37)

По формуле (2.37) определяют значение первой космической скорости по высоте h над поверхностью Земли.
Определим значение первой космической скорости у поверхности Земли (h=0). Из (2.37) следует, что при h=0
v1=Ц[GM/r]. (2.38)

У поверхности Земли g=GM/r2. В итоге получаем
v1=Ц[gR]. (2.39)

Подставив значения величин g и R найдем, что у поверхности Земли первая космическая скорость v1=7,9 км/с.

Итак, тело, скорость которого равна 7,9 км/с и направлена горизонтально относительно поверхности Земли, становится искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно, преодолев притяжение планеты, превратилось в спутник Солнца, называют второй космической. Для Земли вторая космическая скорость v2=11,2 км/ч.

При значении скорости, большем 7,9 км/с, но меньшем 11,2 км/с, орбита спутника Земли является эллиптической. Развив скорость 11,2 км/с, тело начнет двигаться по параболе (рис. 27) и больше не вернется к Земле.

При скорости относительно Земли, большей чем 11,2 км/с, тело движется по гиперболе. При определенном значении скорости тело может покинуть пределы солнечной системы.

Движение искусственных спутников Земли вокруг нее происходит под действием только одной силы - силы тяготения Земли. Эта сила сообщает самому спутнику и всем находящимся на нем телам (космонавтам, приборам и т.п.) одинаковое ускорение свободного падения. Как было показано в §13, в таком случае тела не могут давить друг на друга или растягивать нити подвеса. Следовательно, все тела на спутниках находятся в состоянии невесомости.
Вопросы для самоконтроля:
Как формулируют законы Кеплера? 
Как могут двигаться тела под действием взаимного тяготения? 
Что такое первая космическая скорость? Выведите формулу для ее определения. 
Чему равна первая космическая скорость для Земли? 
Что такое вторая космическая скорость? Чему она равна для Земли? 
Сделав пояснительный рисунок, покажите, как влияет скорость тела на форму траектории (орбиты), по которой оно движется под действием силы тяготения. 
В каком состоянии находятся тела на искусственных спутниках Земли?